Determine o módulo do vetor projeção de v=(2,1,1) na direção do vetor u=(3,-2,0).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o módulo (ou comprimento) da projeção do vetor v = (2, 1, 1) na direção do vetor u = (3, -2, 0). Para isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e cálculo de módulos. Precisamos saber como calcular a projeção de um vetor sobre outro e depois determinar o comprimento desse vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a projeção do vetor v na direção de u é dada pela fórmula:
proju(v) = ( v cdot u|u|^2 ) u
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores, e |u| é o módulo do vetor u.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot u. Isso é feito multiplicando os componentes correspondentes dos vetores e somando os resultados:
v cdot u = (2)(3) + (1)(-2) + (1)(0) = 6 - 2 + 0 = 4

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de u ao quadrado, |u|^2. Fazemos isso somando o quadrado de cada componente do vetor u:
|u|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 0^2 = 9 + 4 + 0 = 13

Passo 5

Com o produto escalar e o módulo ao quadrado de u calculados, podemos substituir esses valores na fórmula da projeção:
proju(v) = ( 413 ) u = ( 413 ) (3, -2, 0) = ( 1213, -813, 0 )

Passo 6

Por fim, vamos determinar o módulo da projeção que acabamos de encontrar. O módulo de um vetor (a, b, c) é calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
| proju(v) | = raiz( 1213 )^2 + ( -813 )^2 + 0^2 = raiz144169 + 64169 = raiz208169 = raiz20813
Simplificando raiz208:
raiz208 = raiz16 times 13 = 4raiz13
Então,
| proju(v) | = 4raiz1313

Resposta

O módulo da projeção é dfrac4,raiz1313.

Exercícios relacionados