Determine as extremidades do diâmetro da esfera x^2+y^2+z^2+4 x-4 y=0 que é perpendicular ao plano x-y-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as extremidades de um diâmetro de uma esfera dada pela equação que seja perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da esfera, vetor normal ao plano e propriedades dos diâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral da esfera é:
x^2 + y^2 + z^2 + 2gx + 2fy + 2hz + c = 0
Comparando com a equação dada:
x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 4y = 0
Podemos ver que C = (-g, -f, -h) = (-2, 2, 0) e r = raizg^2 + f^2 + h^2 - c , então r = raiz2^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 e . O centro da esfera é dado por:
Para encontrar o raio , usamos a fórmula:
Como não há termo constante ( ) na equação, substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal ao plano n = (1, -1, 0) . A forma geral de um plano é , onde o vetor normal é . Para nosso plano:
Esse vetor indica a direção perpendicular ao plano. Como o diâmetro que queremos encontrar deve ser perpendicular ao plano, ele deve estar alinhado com esse vetor normal.

Passo 4

Sabendo que o diâmetro está na direção do vetor normal u = n|n| = (1, -1, 0)raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = (1raiz2, -1raiz2, 0) e que o centro da esfera é d = r cdot u = 2raiz2 cdot (1raiz2, -1raiz2, 0) = (2, -2, 0) , podemos encontrar as extremidades do diâmetro.
Primeiro, normalizamos o vetor :
Multiplicamos o vetor unitário pelo raio para obter o vetor que vai do centro até uma extremidade do diâmetro:

Passo 5

Agora, adicionamos e subtraímos o vetor Extremidade 1 = C + d = (-2, 2, 0) + (2, -2, 0) = (0, 0, 0) do centro Extremidade 2 = C - d = (-2, 2, 0) - (2, -2, 0) = (-4, 4, 0) para encontrar as duas extremidades do diâmetro:

Resposta

As extremidades do diâmetro são e .

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