Determine as extremidades do diâmetro da esfera
que é perpendicular ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as extremidades de um diâmetro de uma esfera dada pela equação
que seja perpendicular ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da esfera, vetor normal ao plano e propriedades dos diâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral da esfera é:
Comparando com a equação dada:
Podemos ver que
e
, então
e
. O centro da esfera
é dado por:
Para encontrar o raio
, usamos a fórmula:
Como não há termo constante (
) na equação, substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal ao plano
. A forma geral de um plano é
, onde o vetor normal é
. Para nosso plano:
Esse vetor indica a direção perpendicular ao plano. Como o diâmetro que queremos encontrar deve ser perpendicular ao plano, ele deve estar alinhado com esse vetor normal.
Passo 4
Sabendo que o diâmetro está na direção do vetor normal
e que o centro da esfera é
, podemos encontrar as extremidades do diâmetro.
Primeiro, normalizamos o vetor
:
Multiplicamos o vetor unitário pelo raio
para obter o vetor que vai do centro até uma extremidade do diâmetro:
Passo 5
Agora, adicionamos e subtraímos o vetor
do centro
para encontrar as duas extremidades do diâmetro:
Resposta
As extremidades do diâmetro são
e
.