Achar o volume no
octante, limitado por
e dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume na primeira parte do espaço (onde x, y e z são positivos) que está limitado por:
- A base do volume está no plano
. - O teto do volume é dado pela equação
. - E tudo isso está dentro de um cilindro definido por
.
Então, vamos usar cálculo multivariável para integrar nesse espaço e encontrar o volume que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. O cilindro
tem raio 4, então estamos lidando com um círculo de raio 4 no plano xy. Como estamos na primeira parte do espaço, consideramos apenas
e
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
-
-
- E o elemento de área
vira
Como estamos na primeira parte do espaço,
vai de 0 a
(90 graus) e
vai de 0 a 4 (raio do cilindro).
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que define o teto do volume
em coordenadas polares:
Passo 5
O volume
que queremos achar é a integral tripla de
sobre a região definida. Em coordenadas polares, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Passo 10
Somando todas as partes:
Resposta
O volume é
unidades cúbicas.
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entre os pontos
e
.
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e em
.
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pelos planos
e
, em que
é constante.
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