Achar o volume no octante, limitado por e dentro do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume na primeira parte do espaço (onde x, y e z são positivos) que está limitado por:
  • A base do volume está no plano .
  • O teto do volume é dado pela equação .
  • E tudo isso está dentro de um cilindro definido por .
Então, vamos usar cálculo multivariável para integrar nesse espaço e encontrar o volume que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. O cilindro tem raio 4, então estamos lidando com um círculo de raio 4 no plano xy. Como estamos na primeira parte do espaço, consideramos apenas e .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
  • E o elemento de área vira
Como estamos na primeira parte do espaço, vai de 0 a (90 graus) e vai de 0 a 4 (raio do cilindro).

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que define o teto do volume em coordenadas polares:

Passo 5

O volume que queremos achar é a integral tripla de sobre a região definida. Em coordenadas polares, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Passo 10

Somando todas as partes:

Resposta

O volume é unidades cúbicas.

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