Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em
e em
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função
em todo o domínio. Depois disso, vamos verificar se a função é diferenciável nos pontos
e
, usando a definição de diferenciabilidade. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais e entender o que significa uma função ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar a diferenciabilidade da função nos pontos especificados. Lembrando que uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e suas derivadas parciais existem e são contínuas ao redor desse ponto.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade em
. A função
é contínua em
, já que o limite quando
é 0, que é igual ao valor da função nesse ponto.
Além disso, as derivadas parciais
e
também são contínuas em
, porque quando
e
tendem a 0, as derivadas tendem a 0 de forma contínua.
Portanto, a função é diferenciável em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
. A função
é contínua em
pois é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o domínio.
As derivadas parciais
e
também são contínuas em
, pois são polinomiais e contínuas em todo o domínio.
Portanto, a função é diferenciável também em
.
Resposta
As derivadas parciais são
e
. A função
é diferenciável tanto em
quanto em
.
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depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
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possui as seguintes posições para vários instantes de tempo:
|
0,080 | 0,050 | 0,040 | 0,050 | 0,080 | 0,13 | 0,20 |
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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e
.
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.