Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em e em .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função em todo o domínio. Depois disso, vamos verificar se a função é diferenciável nos pontos e , usando a definição de diferenciabilidade. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais e entender o que significa uma função ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar a diferenciabilidade da função nos pontos especificados. Lembrando que uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e suas derivadas parciais existem e são contínuas ao redor desse ponto.

Passo 5

Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade em . A função é contínua em , já que o limite quando é 0, que é igual ao valor da função nesse ponto.
Além disso, as derivadas parciais e também são contínuas em , porque quando e tendem a 0, as derivadas tendem a 0 de forma contínua.
Portanto, a função é diferenciável em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em . A função é contínua em pois é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o domínio.
As derivadas parciais e também são contínuas em , pois são polinomiais e contínuas em todo o domínio.
Portanto, a função é diferenciável também em .

Resposta

As derivadas parciais são e . A função é diferenciável tanto em quanto em .

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