Calcule o comprimento de arco da curva
entre os pontos
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o comprimento de arco da curva
entre os pontos
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Vamos precisar calcular a derivada da função
em relação a
e depois substituir na fórmula.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
Passo 4
Substituímos a derivada encontrada na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Para simplificar a integral, podemos reescrever
como
:
A integral fica então:
Esta integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos. Para simplificação, podemos usar substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, mas aqui apresentamos uma aproximação final.
Resposta
Após resolver a integral, o comprimento de arco da curva
entre os pontos
e
é aproximadamente 13 unidades.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em
e em
.
A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
segundos. (a) Em quais unidades SI devem estar A e B? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.
Achar o volume no
octante, limitado por
e dentro do cilindro
.
Achar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro
pelos planos
e
, em que
é constante.