Achar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro pelos planos e , em que é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro pelos planos e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender como configurar os limites de integração no espaço tridimensional e integrar a função que descreve a altura da cunha.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse é um cilindro elíptico porque a equação representa uma elipse no plano xy. Para facilitar, podemos reescrever a equação como , mostrando que o cilindro tem raio no eixo x e no eixo y.

Passo 3

Agora, os planos que cortam o cilindro são (o plano xy) e . A altura varia de 0 até , o que significa que a altura depende de y. Para encontrar o volume da cunha, vamos integrar essa altura sobre a área da base elíptica.

Passo 4

Vamos usar coordenadas elípticas para facilitar a integração. Fazemos uma mudança de variável onde e , com variando de 0 a 1 e de 0 a . Essa transformação transforma a elipse em um círculo unitário, simplificando os limites de integração.

Passo 5

Calculamos o jacobiano dessa mudança de variável para ajustar a área diferencial. O jacobiano é dado por:

Passo 6

Agora, expressamos a função de altura na nova coordenada:

Passo 7

Montamos a integral dupla para o volume :
Simplificando:

Passo 8

Calculamos a integral interna em :
Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, calculamos a integral em :

Passo 10

Oops! O resultado da integral deu zero, o que indica que consideramos apenas uma das cunhas simétricas. Para encontrar o volume de uma única cunha, podemos considerar apenas de a em :

Resposta

O volume de uma das cunhas cortadas do cilindro é .

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