Achar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro pelos planos e , em que é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro pelos planos e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender como configurar os limites de integração no espaço tridimensional e integrar a função que descreve a altura da cunha.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse é um cilindro elíptico porque a equação representa uma elipse no plano xy. Para facilitar, podemos reescrever a equação como , mostrando que o cilindro tem raio no eixo x e no eixo y.
Passo 3
Agora, os planos que cortam o cilindro são (o plano xy) e . A altura varia de 0 até , o que significa que a altura depende de y. Para encontrar o volume da cunha, vamos integrar essa altura sobre a área da base elíptica.
Passo 4
Vamos usar coordenadas elípticas para facilitar a integração. Fazemos uma mudança de variável onde e , com variando de 0 a 1 e de 0 a . Essa transformação transforma a elipse em um círculo unitário, simplificando os limites de integração.
Passo 5
Calculamos o jacobiano dessa mudança de variável para ajustar a área diferencial. O jacobiano é dado por:
Passo 6
Agora, expressamos a função de altura na nova coordenada:
Passo 7
Montamos a integral dupla para o volume :
Simplificando:
Passo 8
Calculamos a integral interna em :
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, calculamos a integral em :
Passo 10
Oops! O resultado da integral deu zero, o que indica que consideramos apenas uma das cunhas simétricas. Para encontrar o volume de uma única cunha, podemos considerar apenas de a em :
Resposta
O volume de uma das cunhas cortadas do cilindro é .