Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de para a função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como avaliar limites e verificar se eles existem de forma consistente, independente do caminho que a gente segue para chegar no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando .
  • Numerador:
    • Quando e , temos .
  • Denominador:
    • Substituindo, fica .
Então, na primeira vista, parece que nosso limite seria . Mas precisamos confirmar se esse valor é consistente, independentemente do caminho que a gente siga para .

Passo 3

Para garantir que o limite existe e é igual a , vamos verificar se a função é contínua no ponto . Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular o valor da função em :
Como o limite coincide com o valor da função no ponto, a função é contínua em , e o limite existe.

Resposta

O limite é .

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Achar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro pelos planos e , em que é constante.
Achar o volume no octante, limitado por e dentro do cilindro .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Seja uma função.
Supondo que , calcule .