Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de
para a função
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como avaliar limites e verificar se eles existem de forma consistente, independente do caminho que a gente segue para chegar no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
.
-
Numerador:
- Quando
e , temos .
- Quando
-
Denominador:
- Substituindo, fica
.
- Substituindo, fica
Então, na primeira vista, parece que nosso limite seria
. Mas precisamos confirmar se esse valor é consistente, independentemente do caminho que a gente siga para
.
Passo 3
Para garantir que o limite existe e é igual a
, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular o valor da função em
:
Como o limite coincide com o valor da função no ponto, a função é contínua em
, e o limite existe.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Achar o volume de uma das cunhas cortadas do cilindro
pelos planos
e
, em que
é constante.
Achar o volume no
octante, limitado por
e dentro do cilindro
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Seja
uma função.
Supondo que , calcule
.
Supondo que