Achar o volume do sólido limitado puperiormente pelo plano e inferiormente por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: por cima pelo plano e por baixo pela parábola . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume entre essas duas superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, encontrar a interseção entre o plano e a parábola . Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos reorganizar essa equação para achar a relação entre e :
Podemos completar o quadrado para a parte em :
Isso representa um círculo de raio centrado em no plano . Portanto, a região de integração será este círculo.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando a diferença entre as duas superfícies sobre a região :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Observando a região de integração , que é um círculo, é mais fácil converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área se transforma em .
Além disso, o círculo está centrado em , mas para simplificar, podemos ajustar as coordenadas ou considerar a simetria. Entretanto, para manter a simplicidade, vamos integrar em coordenadas cartesianas.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. A equação do círculo é . Para cada , varia de:
E varia de a .
Portanto, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Avaliando entre os limites de :
Após simplificar e integrar em relação a , chegamos ao valor do volume.