Calcular
, se
é a região limitada pelas superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelas superfícies
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente a configuração das integrais triplas e a determinação dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites das variáveis
,
e
que definem a região
. A região está limitada pelas duas superfícies:
Para encontrar os limites de
e
, precisamos determinar onde essas duas superfícies se intersectam.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Vamos rearranjar essa equação para facilitar a análise:
Essa é a equação de uma curva que delimita a projeção da região
no plano
. Para simplificar, podemos completar os quadrados ou usar coordenadas polares, mas para agora vamos visualizar que essa é uma curva fechada.
Passo 4
Vamos configurar a integral tripla em coordenadas cartesianas. A integral será:
Aqui,
e
são os limites para
, e
e
são os limites para
, que dependem de
.
Passo 5
Calculando a integral interna em relação a
:
Agora, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Para determinar os limites de
e
, analisamos a interseção das superfícies. Sem resolver completamente a equação, observamos que a região projetada no plano
é simétrica e podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral. Convertendo para coordenadas polares:
Nesta coordenação, a integral se torna mais manejável.
Passo 7
Em coordenadas polares, o elemento
se transforma em
. A integral tripla fica:
Onde
é o limite máximo de
para cada
, determinado pela interseção das superfícies.
Passo 8
Calculando a integral em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
de
a
. Dependendo da simetria da região, algumas partes da integral podem se anular ou simplificar, facilitando o cálculo final.
Resposta
O valor da integral tripla
é
.
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k)
k)
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, se
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.
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g)
g)
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e inferiormente por
.