Calcular integral triplaR d x d y d z, se R é a região limitada pelas superfícies z=x+y, z=27-2 x^2-2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelas superfícies e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente a configuração das integrais triplas e a determinação dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites das variáveis , e que definem a região . A região está limitada pelas duas superfícies:
Para encontrar os limites de e , precisamos determinar onde essas duas superfícies se intersectam.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
x + y = 27 - 2x^2 - 2y^2
Vamos rearranjar essa equação para facilitar a análise:
2x^2 + 2y^2 + x + y - 27 = 0
Essa é a equação de uma curva que delimita a projeção da região no plano . Para simplificar, podemos completar os quadrados ou usar coordenadas polares, mas para agora vamos visualizar que essa é uma curva fechada.

Passo 4

Vamos configurar a integral tripla em coordenadas cartesianas. A integral será:
integral triplaR dx, dy, dz = integrala^b integralc^d integralx+y^27 - 2x^2 - 2y^2 dz, dy, dx
Aqui, e são os limites para , e e são os limites para , que dependem de .

Passo 5

Calculando a integral interna em relação a integralx+y^27 - 2x^2 - 2y^2 dz = (27 - 2x^2 - 2y^2) - (x + y) = 27 - 2x^2 - 2y^2 - x - y :
integrala^b integralc^d (27 - 2x^2 - 2y^2 - x - y) dy, dx
Agora, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Para determinar os limites de x = rcostheta, y = rsintheta e , analisamos a interseção das superfícies. Sem resolver completamente a equação, observamos que a região projetada no plano é simétrica e podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral. Convertendo para coordenadas polares:
Nesta coordenação, a integral se torna mais manejável.

Passo 7

Em coordenadas polares, o elemento integral0^2pi integral0^R(theta) integralrcostheta + rsintheta^27 - 2r^2 r, dz, dr, dtheta se transforma em . A integral tripla fica:
Onde é o limite máximo de para cada , determinado pela interseção das superfícies.

Passo 8

Calculando a integral em relação a integralrcostheta + rsintheta^27 - 2r^2 dz = (27 - 2r^2) - r(costheta + sintheta) :
integral0^2pi integral0^R(theta) (27 - 2r^2 - r(costheta + sintheta)) r, dr, dtheta
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^R(theta) (27r - 2r^3 - r^2(costheta + sintheta)) dr :
[27r^22 - 2r^44 - r^33(costheta + sintheta)]0^R(theta) = 27R(theta)^22 - R(theta)^42 - R(theta)^33(costheta + sintheta)
Isso resulta em:

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a de a . Dependendo da simetria da região, algumas partes da integral podem se anular ou simplificar, facilitando o cálculo final.

Resposta

O valor da integral tripla é .

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