Calcular onde é o sólido limitado pelas superfícies

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla da função sobre o sólido limitado pelas superfícies , , e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sólido . As superfícies e são cilindros circulares concêntricos em torno do eixo . O sólido está entre esses dois cilindros e entre as alturas e . Isso forma um anel cilíndrico alto.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume é
Nessa mudança, a função se torna .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • varia de a (pois e correspondem a e )
  • varia de a (uma volta completa ao redor do eixo )
  • varia de a

Passo 5

Com isso, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 6

Vamos começar resolvendo a integral em relação a :
Fazendo a substituição , temos . Quando , ; quando , . Assim,

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 8

Integrando em relação a , dividimos a integral em duas partes:
Fazendo a substituição para cada parte:
Para a primeira integral, seja , então , ou seja, . Quando , ; quando , . Assim,
Para a segunda integral, seja , então , ou seja, . Quando , ; quando , . Assim,

Passo 9

Juntando as duas partes, temos:

Passo 10

Agora, integraremos em relação a :
Multiplicando isso pelo resultado anterior:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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