Calcular integral triplaR cos (x^2+y^2+z) d x d y d z onde R é o sólido limitado pelas superfícies x^2+y^2=2, x^2+y^2=4 z=0, z=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla da função cos(x^2+y^2+z) sobre o sólido R limitado pelas superfícies x^2+y^2=2, x^2+y^2=4, z=0 e z=4. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sólido R. As superfícies x^2+y^2=2 e x^2+y^2=4 são cilindros circulares concêntricos em torno do eixo z. O sólido está entre esses dois cilindros e entre as alturas z=0 e z=4. Isso forma um anel cilíndrico alto.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz
Nessa mudança, a função cos(x^2+y^2+z) se torna cos(r^2+z).

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • r varia de raiz2 a 2 (pois x^2+y^2=2 e x^2+y^2=4 correspondem a r = raiz2 e r = 2)
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do eixo z)
  • z varia de 0 a 4

Passo 5

Com isso, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaR cos(x^2+y^2+z) ,dx,dy,dz = integral0^2pi integralraiz2^2 integral0^4 cos(r^2+z) , r,dz,dr,dtheta

Passo 6

Vamos começar resolvendo a integral em relação a z:
integral0^4 cos(r^2+z) , dz
Fazendo a substituição u = r^2 + z, temos du = dz. Quando z=0, u = r^2; quando z=4, u = r^2 + 4. Assim,
integralr^2^r^2+4 cos(u) , du = sin(u) |r^2^r^2+4 = sin(r^2+4) - sin(r^2)

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^2pi integralraiz2^2 [sin(r^2+4) - sin(r^2)] , r,dr,dtheta

Passo 8

Integrando em relação a r, dividimos a integral em duas partes:
integralraiz2^2 sin(r^2+4) cdot r , dr - integralraiz2^2 sin(r^2) cdot r , dr
Fazendo a substituição para cada parte:
Para a primeira integral, seja v = r^2 + 4, então dv = 2r,dr, ou seja, r,dr = dv2. Quando r=raiz2, v=2+4=6; quando r=2, v=4+4=8. Assim,
12 integral6^8 sin(v) , dv = 12 [-cos(v)]6^8 = 12 [-cos(8) + cos(6)]
Para a segunda integral, seja w = r^2, então dw = 2r,dr, ou seja, r,dr = dw2. Quando r=raiz2, w=2; quando r=2, w=4. Assim,
12 integral2^4 sin(w) , dw = 12 [-cos(w)]2^4 = 12 [-cos(4) + cos(2)]

Passo 9

Juntando as duas partes, temos:
12 [-cos(8) + cos(6)] - 12 [-cos(4) + cos(2)] = 12 [-cos(8) + cos(6) + cos(4) - cos(2)]

Passo 10

Agora, integraremos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando isso pelo resultado anterior:
2pi cdot 12 [-cos(8) + cos(6) + cos(4) - cos(2)] = pi [-cos(8) + cos(6) + cos(4) - cos(2)]

Resposta

A integral tripla é igual a pi [-cos(8) + cos(6) + cos(4) - cos(2)].

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