Calcular onde é o sólido limitado pelas superfícies
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla da função sobre o sólido limitado pelas superfícies , , e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o sólido . As superfícies e são cilindros circulares concêntricos em torno do eixo . O sólido está entre esses dois cilindros e entre as alturas e . Isso forma um anel cilíndrico alto.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume é
Nessa mudança, a função se torna .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
varia de a (pois e correspondem a e )
varia de a (uma volta completa ao redor do eixo )
varia de a
Passo 5
Com isso, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 6
Vamos começar resolvendo a integral em relação a :
Fazendo a substituição , temos . Quando , ; quando , . Assim,
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 8
Integrando em relação a , dividimos a integral em duas partes:
Fazendo a substituição para cada parte:
Para a primeira integral, seja , então , ou seja, . Quando , ; quando , . Assim,
Para a segunda integral, seja , então , ou seja, . Quando , ; quando , . Assim,