Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
g) integral0^2 d yraiz[3]y-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a integral imprópria converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e como avaliá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , percebemos que o denominador se anula quando , o que pode causar uma descontinuidade ou infinito na função. Então, nosso ponto problemático é .

Passo 3

Como a integral vai de 0 a 2 e o ponto integral0^2 dyraiz[3]y-1 = integral0^1 dyraiz[3]y-1 + integral1^2 dyraiz[3]y-1 está dentro desse intervalo, vamos dividir a integral em duas partes para lidar com a descontinuidade:
Cada uma dessas integrais será avaliada como um limite, já que no ponto a função não está definida.

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte: u = y - 1 Rightarrow du = dy . Para facilitar, fazemos uma substituição:
integral-1^0 duraiz[3]u = integral-1^0 u^-1/3 du
Os limites de integração mudam para integral u^-1/3 du = u^2/323 + C = 32 u^2/3 + C quando 32 (0^2/3 - (-1)^2/3) = 32 (0 - 1) = -32 e quando . A integral fica:
Integrando:
Avaliado de a :
Mas como estamos tratando de um limite, a integral converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte: u = y - 1 Rightarrow du = dy . Novamente, fazemos a substituição:
integral0^1 duraiz[3]u = integral0^1 u^-1/3 du
Os limites de integração mudam para integral u^-1/3 du = u^2/323 + C = 32 u^2/3 + C quando 32 (1^2/3 - 0^2/3) = 32 (1 - 0) = 32 e quando . A integral fica:
Integrando:
Avaliado de a :
Essa integral também converge.

Resposta

A integral imprópria é convergente e o seu valor é 0.

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