Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e como avaliá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, percebemos que o denominador
se anula quando
, o que pode causar uma descontinuidade ou infinito na função. Então, nosso ponto problemático é
.
Passo 3
Como a integral vai de 0 a 2 e o ponto
está dentro desse intervalo, vamos dividir a integral em duas partes para lidar com a descontinuidade:
Cada uma dessas integrais será avaliada como um limite, já que no ponto
a função não está definida.
Passo 4
Vamos calcular a primeira parte:
. Para facilitar, fazemos uma substituição:
Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. A integral fica:
Integrando:
Avaliado de
a
:
Mas como estamos tratando de um limite, a integral converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte:
. Novamente, fazemos a substituição:
Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. A integral fica:
Integrando:
Avaliado de
a
:
Essa integral também converge.
Resposta
A integral imprópria
é convergente e o seu valor é 0.
Exercícios relacionados
Calcular
, se
é a região limitada pelas superfícies
.
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
k)
k)
Achar o volume do sólido limitado puperiormente pelo plano
e inferiormente por
.
Considere a soma seguinte
c) Calcule o valor da soma.