Achar o volume do sólido limitado pelas superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies:
e
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cartesianas. Vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral dupla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das superfícies para facilitar a visualização:
-
(paraboloide) -
(paraboloide invertido)
O sólido está entre essas duas superfícies, então o volume será a integral da diferença entre elas.
Passo 3
Para achar a região de integração no plano xy, igualamos as duas equações de z:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Isso é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (em x) e 1 (em y).
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. O volume V será:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Para resolver a integral, vamos usar coordenadas elípticas. Fazendo a mudança de variável:
O jacobiano dessa transformação é
.
A elipse
se transforma em
, que é um círculo unitário.
Passo 6
Reescrevendo a integral com as novas variáveis:
Simplificando dentro da integral:
Como
e
correspondem a
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Agora, a integral externa em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcular
Calcular
, se
é a região limitada pelo cilindro
.
Considere a soma seguinte
b) Substitua cada uma das parcelas pelo termo correspondente da P.A. (por exemplo
+2.1) . Substitua todos estes novos formatos na soma. Com este procedimento fica fácil você transformar a soma como uma notação de somatória.
Calcular
sendo
o sólido definido pelas desigualdades
.