Achar o volume do sólido limitado pelas superfícies .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: e . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cartesianas. Vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral dupla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das superfícies para facilitar a visualização:
  1. (paraboloide)
  2. (paraboloide invertido)
O sólido está entre essas duas superfícies, então o volume será a integral da diferença entre elas.

Passo 3

Para achar a região de integração no plano xy, igualamos as duas equações de z:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Isso é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (em x) e 1 (em y).

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. O volume V será:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Para resolver a integral, vamos usar coordenadas elípticas. Fazendo a mudança de variável:
O jacobiano dessa transformação é .
A elipse se transforma em , que é um círculo unitário.

Passo 6

Reescrevendo a integral com as novas variáveis:
Simplificando dentro da integral:
Como e correspondem a e :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 8

Agora, a integral externa em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcular
Calcular , se é a região limitada pelo cilindro .
Considere a soma seguinte
b) Substitua cada uma das parcelas pelo termo correspondente da P.A. (por exemplo +2.1) . Substitua todos estes novos formatos na soma. Com este procedimento fica fácil você transformar a soma como uma notação de somatória.
Calcular sendo o sólido definido pelas desigualdades .