Calcular sendo o sólido definido pelas desigualdades .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região definida por , e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis quando trabalhamos com esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A condição representa a esfera de raio 1 centrada na origem. A desigualdade descreve a região dentro de um cone com eixo no eixo . E significa que estamos considerando apenas a parte superior dessa região.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • : Como , temos .
  • : A condição se traduz em , ou seja, vai de a .
  • : Para cobrir toda a volta ao redor do eixo , varia de a .

Passo 5

Agora, substituímos e o volume diferencial na integral:
Simplificando, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma a uma:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

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Considere a soma seguinte
b) Substitua cada uma das parcelas pelo termo correspondente da P.A. (por exemplo +2.1) . Substitua todos estes novos formatos na soma. Com este procedimento fica fácil você transformar a soma como uma notação de somatória.
Achar o volume do sólido limitado pelas superfícies .
Calcular , se é a região limitada pelo paraboloide hiperbólico e os planos .
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
k)