Calcular sendo o sólido definido pelas desigualdades .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região definida por , e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis quando trabalhamos com esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A condição representa a esfera de raio 1 centrada na origem. A desigualdade descreve a região dentro de um cone com eixo no eixo . E significa que estamos considerando apenas a parte superior dessa região.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
: Como , temos .
: A condição se traduz em , ou seja, vai de a .
: Para cobrir toda a volta ao redor do eixo , varia de a .
Passo 5
Agora, substituímos e o volume diferencial na integral: