Calcular integral triplaR z d x d y d z sendo R o sólido definido pelas desigualdades x^2+y^2+z^2 <= 1, x^2+y^2 <= z^2, z >= 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região definida por , e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são bem úteis quando trabalhamos com esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A condição representa a esfera de raio 1 centrada na origem. A desigualdade descreve a região dentro de um cone com eixo no eixo . E significa que estamos considerando apenas a parte superior dessa região.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
E o volume diferencial é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • : Como , temos .
  • : A condição se traduz em , ou seja, vai de a .
  • : Para cobrir toda a volta ao redor do eixo , varia de a .

Passo 5

Agora, substituímos integral triplaR z , dV = integral0^2pi integral0^pi/4 integral0^1 rho cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta e o volume diferencial na integral:
integral0^2pi dtheta integral0^pi/4 sin phi cos phi , dphi integral0^1 rho^3 , drho
Simplificando, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma a uma:
  1. Integral em integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 :
integral0^pi/4 sin phi cos phi , dphi = 12 integral0^pi/4 sin 2phi , dphi = 12 [ -cos 2phi2 ]0^pi/4 = 14 (1 - 0) = 14
  1. Integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
integral triplaR z , dV = 2pi times 14 times 14 = 2pi16 = pi8

Resposta

integral triplaR z , d x , d y , d z = pi8

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