Calcular , se é a região limitada pelo cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral sobre a região que é limitada pelo cilindro , pelas superfícies , e pelo plano . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cartesianas e entender os limites de integração para , e .

Passo 2

Vamos visualizar a região . O cilindro pode ser reescrito como . Isso nos mostra que, para cada valor de , varia de a . O plano relaciona e , então para um dado , varia de a .

Passo 3

Definindo os limites de integração:
  • varia de a , mas já que , na verdade varia de a , pois quando e , , então máximo é .
  • Para cada , vai de a .
  • Para cada , vai de a .

Passo 4

A integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integral mais interna em relação a .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , os limites de vão de a . Então:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral agora é:

Passo 7

Vamos separar a integral em três partes:
Calculando cada uma:
  1. Substituição , , então

Passo 8

Aplicando os limites:

Passo 9

Somando todas as partes:
Vamos escrever isso de forma simplificada:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Resolva a equação:
Calcular o volume da região limitada pela superfície .
Calcular
Achar o volume do sólido limitado pelas superfícies .