Calcular integral triplaR y cos (x+z) d x d y d z, se R é a região limitada pelo cilindro y=raizx, y=0, z=0, x+z=pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral sobre a região que é limitada pelo cilindro , pelas superfícies , e pelo plano . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cartesianas e entender os limites de integração para , e .

Passo 2

Vamos visualizar a região . O cilindro pode ser reescrito como . Isso nos mostra que, para cada valor de , varia de a . O plano relaciona e , então para um dado , varia de a .

Passo 3

Definindo os limites de integração:
  • varia de a , mas já que , na verdade varia de a , pois quando e , , então máximo é .
  • Para cada , vai de a .
  • Para cada , vai de a .

Passo 4

A integral tripla fica assim:
integral0^raizpi2 integral0^y^2 integral0^pi2 - x y cos(x + z) , dz , dx , dy
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integral mais interna em relação a .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 - x cos(x + z) , dz :
integralx^pi2 cos(u) , du = sin(u) |x^pi2 = sin(pi2) - sin(x) = 1 - sin(x)
Fazendo a substituição integral0^raizpi2 integral0^y^2 y (1 - sin(x)) , dx , dy , , os limites de vão de a . Então:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^y^2 y (1 - sin(x)) , dx = y [ x + cos(x) ]0^y^2 = y ( y^2 + cos(y^2) - 1 ) :
integral0^raizpi2 y (y^2 + cos(y^2) - 1) , dy
Então, a integral agora é:

Passo 7

Vamos separar a integral em três partes:
integral0^raizpi2 y^3 , dy + integral0^raizpi2 y cos(y^2) , dy - integral0^raizpi2 y , dy
Calculando cada uma:
  1. Substituição , , então

Passo 8

Aplicando os limites:

Passo 9

Somando todas as partes:
pi^216 + 12 - pi4
Vamos escrever isso de forma simplificada:
pi^216 - pi4 + 12

Resposta

O valor da integral tripla é .

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