Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral sobre a região que é limitada pelo cilindro , pelas superfícies , e pelo plano . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cartesianas e entender os limites de integração para , e .
Passo 2
Vamos visualizar a região . O cilindro pode ser reescrito como . Isso nos mostra que, para cada valor de , varia de a . O plano relaciona e , então para um dado , varia de a .
Passo 3
Definindo os limites de integração:
varia de a , mas já que , na verdade varia de a , pois quando e , , então máximo é .
Para cada , vai de a .
Para cada , vai de a .
Passo 4
A integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integral mais interna em relação a .
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , os limites de vão de a . Então:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a integral0^y^2 y (1 - sin(x)) , dx = y [ x + cos(x) ]0^y^2 = y ( y^2 + cos(y^2) - 1 ) :
integral0^raizpi2 y (y^2 + cos(y^2) - 1) , dy
Então, a integral agora é:
Passo 7
Vamos separar a integral em três partes:
integral0^raizpi2 y^3 , dy + integral0^raizpi2 y cos(y^2) , dy - integral0^raizpi2 y , dy