Calcule m para que a distância entre o ponto P=(m, 3 m, m-2) e o plano pi:2 x+y-z+3=0 seja raiz6 cdot( resp.m =14 ou m=-114)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de que fazem a distância entre o ponto e o plano ser igual a . Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular a distância D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 entre um ponto e um plano dado por . A fórmula é:
No nosso caso, o plano tem os coeficientes , , e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as coordenadas do ponto . O ponto é , então , e .

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
raiz6 = |2(m) + 1(3m) - 1(m - 2) + 3|raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2
Simplificando o denominador:
raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Portanto, a equação fica:
raiz6 = |2m + 3m - m + 2 + 3|raiz6

Passo 5

Simplificando o numerador:
2m + 3m - m + 2 + 3 = (2 + 3 - 1)m + 5 = 4m + 5
Então, a equação fica:
raiz6 = |4m + 5|raiz6

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por raiz6 cdot raiz6 = |4m + 5| para eliminar o denominador:
6 = |4m + 5|
Como , temos:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação , que nos dá duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 8

Primeira possibilidade:
4m + 5 = 6 4m = 6 - 5 4m = 1 m = 14
Segunda possibilidade:
4m + 5 = -6 4m = -6 - 5 4m = -11 m = -114

Resposta

Os valores de m = 14 ou m = -114 que satisfazem a condição são:

Exercícios relacionados