Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P=(1,1,-1) e Q=(2,1,1) e que dista 1 da reta r: X=(1,0,2)+lambda(1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa por dois pontos específicos, e , e que está a uma distância de 1 unidade de uma reta dada pela equação paramétrica . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos sobre vetores, equações de planos e cálculo de distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos PQ = Q - P = (2-1, 1-1, 1-(-1)) = (1, 0, 2) e . Esse vetor é dado por:
Esse vetor será paralelo ao plano que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta . A direção da reta é o vetor diretor que multiplica o parâmetro , ou seja, .
Para que o plano esteja a uma distância de 1 unidade da reta , precisamos que a distância entre o plano e a reta seja 1. A distância entre uma reta e um plano pode ser calculada usando a fórmula de distância de um ponto a um plano, considerando que a orientação da reta está alinhada com o vetor diretor do plano.

Passo 4

Vamos determinar o vetor normal n = PQ times d = i & j & k 1 & 0 & 2 1 & 0 & 2 = 0 do plano. Sabemos que o vetor normal deve ser perpendicular tanto ao vetor quanto ao vetor diretor da reta . Para isso, podemos utilizar o produto vetorial entre e :
Ops! Isso deu zero, o que significa que os vetores são paralelos. Então, precisamos de outra abordagem. Vamos considerar que o vetor normal deve ser perpendicular ao vetor e também ao vetor que liga um ponto da reta a um ponto do plano.

Passo 5

Vamos escolher um ponto na reta RP = P - R = (1-1, 1-0, -1-2) = (0, 1, -3) . Por exemplo, para n = PQ times RP = i & j & k 1 & 0 & 2 0 & 1 & -3 = (0 cdot (-3) - 2 cdot 1)i - (1 cdot (-3) - 2 cdot 0)j + (1 cdot 1 - 0 cdot 0)k = (-2, 3, 1) , o ponto é . Agora, vamos considerar o vetor que liga a :
Agora, o vetor normal deve ser perpendicular tanto a quanto a . Podemos encontrar calculando o produto vetorial entre esses dois vetores:
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Agora que temos o vetor normal, podemos escrever a equação geral do plano usando o ponto -2(x - 1) + 3(y - 1) + 1(z + 1) = 0 :
-2x + 2 + 3y - 3 + z + 1 = 0 -2x + 3y + z = 0
Simplificando essa equação:

Passo 7

Por último, precisamos verificar se esse plano está realmente a uma distância de 1 unidade da reta D = |-2(1) + 3(0) + 1(2)|raiz(-2)^2 + 3^2 + 1^2 = |-2 + 0 + 2|raiz4 + 9 + 1 = 0raiz14 = 0 . A distância -2x + 3y + z + d = 0 de um ponto |d|raiz14 = 1 Rightarrow |d| = raiz14 ao plano d = raiz14 ou d = -raiz14 é dada por:
-2x + 3y + z = raiz14
Como a distância é zero, o ponto -2x + 3y + z = -raiz14 está no plano, o que indica que precisamos ajustar nosso plano para que a distância seja 1. Para isso, ajustamos a equação do plano deslocando-o na direção do vetor normal:
Queremos que a distância seja 1:
Portanto, temos duas possibilidades para :
Então, as equações dos planos são:

Resposta

A equação geral do plano que passa pelos pontos -2x + 3y + z = raiz14 ou -2x + 3y + z = -raiz14 e e está a uma distância de 1 unidade da reta é dada por:

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