Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e que dista 1 da reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa por dois pontos específicos, e , e que está a uma distância de 1 unidade de uma reta dada pela equação paramétrica . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos sobre vetores, equações de planos e cálculo de distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos e . Esse vetor é dado por:
Esse vetor será paralelo ao plano que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta . A direção da reta é o vetor diretor que multiplica o parâmetro , ou seja, .
Para que o plano esteja a uma distância de 1 unidade da reta , precisamos que a distância entre o plano e a reta seja 1. A distância entre uma reta e um plano pode ser calculada usando a fórmula de distância de um ponto a um plano, considerando que a orientação da reta está alinhada com o vetor diretor do plano.
Passo 4
Vamos determinar o vetor normal do plano. Sabemos que o vetor normal deve ser perpendicular tanto ao vetor quanto ao vetor diretor da reta . Para isso, podemos utilizar o produto vetorial entre e :
Ops! Isso deu zero, o que significa que os vetores são paralelos. Então, precisamos de outra abordagem. Vamos considerar que o vetor normal deve ser perpendicular ao vetor e também ao vetor que liga um ponto da reta a um ponto do plano.
Passo 5
Vamos escolher um ponto na reta . Por exemplo, para , o ponto é . Agora, vamos considerar o vetor que liga a :
Agora, o vetor normal deve ser perpendicular tanto a quanto a . Podemos encontrar calculando o produto vetorial entre esses dois vetores:
Então, o vetor normal é .
Passo 6
Agora que temos o vetor normal, podemos escrever a equação geral do plano usando o ponto :
Simplificando essa equação:
Passo 7
Por último, precisamos verificar se esse plano está realmente a uma distância de 1 unidade da reta . A distância de um ponto ao plano é dada por:
Como a distância é zero, o ponto está no plano, o que indica que precisamos ajustar nosso plano para que a distância seja 1. Para isso, ajustamos a equação do plano deslocando-o na direção do vetor normal:
Queremos que a distância seja 1:
Portanto, temos duas possibilidades para :
Então, as equações dos planos são:
Resposta
A equação geral do plano que passa pelos pontos e e está a uma distância de 1 unidade da reta é dada por: