Ache o ângulo entre a reta e o plano (resp. ou )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o ângulo entre uma reta e um plano. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretivos da reta e o vetor normal do plano, que são fundamentais para calcular o ângulo desejado.

Passo 2

A reta está definida pela equação paramétrica:
Aqui, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

O plano é dado pela equação:
Podemos reescrever essa equação como:
Dessa forma, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O ângulo entre a reta e o plano é complementado pelo ângulo entre e :
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Calculamos o ângulo usando o produto escalar:
Onde:
Substituindo na equação:
Então:

Passo 6

Agora, encontramos o ângulo entre a reta e o plano:
Como o ângulo não pode ser negativo, interpretamos o valor absoluto:
Ou, em radianos:

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é ou radianos.

Exercícios relacionados

Ache o ângulo entre as retas e (resp. ou )
Identifique os seguintes subconjuntos do plano .
Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) dilata os vetores do por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo .
b) contrai os vetores do por um fator , em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de e depois reflete esses vetores em torno do eixo .
Sejam operadores lineares dados por e . Determine e descreva geometricamente os operadores e .