Ache o ângulo entre a reta r:P=(0,1,0)+lambda(-1,-1,0) e o plano pi:y+z-10=0 (resp. theta=30^circ ou theta=pi6 rad )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o ângulo entre uma reta e um plano. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretivos da reta e o vetor normal do plano, que são fundamentais para calcular o ângulo desejado.

Passo 2

A reta P = (0, 1, 0) + lambda (-1, -1, 0) está definida pela equação paramétrica:
Aqui, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

O plano y + z - 10 = 0 é dado pela equação:
0x + 1y + 1z - 10 = 0
Podemos reescrever essa equação como:
Dessa forma, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O ângulo theta = 90^circ - alpha entre a reta e o plano é complementado pelo ângulo entre e :
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Calculamos o ângulo d cdot n = |d| cdot |n| cdot cos(alpha) usando o produto escalar:
d cdot n = (-1)(0) + (-1)(1) + (0)(1) = -1
Onde:
|d| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
|n| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
-1 = raiz2 cdot raiz2 cdot cos(alpha) Rightarrow -1 = 2 cos(alpha) Rightarrow cos(alpha) = -12
Substituindo na equação:
alpha = 120^circ
Então:

Passo 6

Agora, encontramos o ângulo entre a reta e o plano:
theta = 90^circ - alpha = 90^circ - 120^circ = -30^circ
Como o ângulo não pode ser negativo, interpretamos o valor absoluto:
theta = 30^circ
Ou, em radianos:
theta = pi6 , rad

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é ou radianos.

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