Sejam T, S: R^2 R^2 operadores lineares dados por T(x, y)=(x+y, 0) e S(x, y)=(-y, x). Determine e descreva geometricamente os operadores T+S, T circ S, S circ T, T^2 e S^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado nos dá dois operadores lineares e que transformam vetores no plano . Nosso objetivo é determinar e descrever geometricamente os operadores , , , e . Para isso, vamos precisar entender como somar e compor operadores lineares, além de calcular potências desses operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os operadores e .
  • O operador é definido por . Isso significa que ele pega um vetor e transforma no vetor . Basicamente, ele soma as duas coordenadas e zera a segunda componente.
  • O operador é definido por . Aqui, ele pega e transforma em , o que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.

Passo 3

Vamos calcular (T + S)(x, y) = T(x, y) + S(x, y) = (x + y, 0) + (-y, x) = (x + y - y, 0 + x) = (x, x) . A soma de dois operadores lineares é feita somando as imagens de cada operador para qualquer vetor .
Então,
Geometricamente, transforma todo vetor em , ou seja, projeta qualquer vetor no eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular S(x, y) = (-y, x) , que significa aplicar primeiro T(-y, x) = (-y + x, 0) = (x - y, 0) e depois (T circ S)(x, y) = (x - y, 0) .
Primeiro aplicamos :
Depois aplicamos a esse resultado:
Então,
Geometricamente, pega , faz uma rotação de 90 graus e depois projeta no eixo .

Passo 5

Vamos calcular T(x, y) = (x + y, 0) , ou seja, aplicar primeiro S(x + y, 0) = (0, x + y) e depois (S circ T)(x, y) = (0, x + y) .
Primeiro aplicamos :
Depois aplicamos a esse resultado:
Portanto,
Geometricamente, projeta primeiro no eixo e depois rotaciona o vetor resultante em 90 graus.

Passo 6

Vamos calcular T(x, y) = (x + y, 0) , que significa aplicar T(x + y, 0) = ( (x + y) + 0, 0 ) = (x + y, 0) duas vezes.
Primeira aplicação de T^2(x, y) = (x + y, 0) :
Segunda aplicação de :
Então,
Isso mostra que aplicar duas vezes não muda nada além da primeira aplicação, já que o segundo mantém igual.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular S(x, y) = (-y, x) , que significa aplicar S(-y, x) = (-x, -y) duas vezes.
Primeira aplicação de S^2(x, y) = (-x, -y) :
Segunda aplicação de :
Portanto,
Geometricamente, corresponde a uma rotação de 180 graus, ou seja, inverte ambos os componentes do vetor original.

Resposta

Os operadores determinados são:
  • : transforma em , projetando vetores na linha .
  • : transforma em , rotaciona 90 graus e projeta no eixo .
  • : transforma em , projeta no eixo e rotaciona 90 graus.
  • : transforma em , igual a .
  • : transforma em , realizando uma rotação de 180 graus.

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