Sejam operadores lineares dados por e . Determine e descreva geometricamente os operadores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado nos dá dois operadores lineares e que transformam vetores no plano . Nosso objetivo é determinar e descrever geometricamente os operadores , , , e . Para isso, vamos precisar entender como somar e compor operadores lineares, além de calcular potências desses operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os operadores e .
  • O operador é definido por . Isso significa que ele pega um vetor e transforma no vetor . Basicamente, ele soma as duas coordenadas e zera a segunda componente.
  • O operador é definido por . Aqui, ele pega e transforma em , o que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.

Passo 3

Vamos calcular . A soma de dois operadores lineares é feita somando as imagens de cada operador para qualquer vetor .
Então,
Geometricamente, transforma todo vetor em , ou seja, projeta qualquer vetor no eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular , que significa aplicar primeiro e depois .
Primeiro aplicamos :
Depois aplicamos a esse resultado:
Então,
Geometricamente, pega , faz uma rotação de 90 graus e depois projeta no eixo .

Passo 5

Vamos calcular , ou seja, aplicar primeiro e depois .
Primeiro aplicamos :
Depois aplicamos a esse resultado:
Portanto,
Geometricamente, projeta primeiro no eixo e depois rotaciona o vetor resultante em 90 graus.

Passo 6

Vamos calcular , que significa aplicar duas vezes.
Primeira aplicação de :
Segunda aplicação de :
Então,
Isso mostra que aplicar duas vezes não muda nada além da primeira aplicação, já que o segundo mantém igual.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular , que significa aplicar duas vezes.
Primeira aplicação de :
Segunda aplicação de :
Portanto,
Geometricamente, corresponde a uma rotação de 180 graus, ou seja, inverte ambos os componentes do vetor original.

Resposta

Os operadores determinados são:
  • : transforma em , projetando vetores na linha .
  • : transforma em , rotaciona 90 graus e projeta no eixo .
  • : transforma em , projeta no eixo e rotaciona 90 graus.
  • : transforma em , igual a .
  • : transforma em , realizando uma rotação de 180 graus.

Exercícios relacionados

Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) dilata os vetores do por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo .
b) contrai os vetores do por um fator , em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de e depois reflete esses vetores em torno do eixo .
Ache o ângulo entre a reta e o plano (resp. ou )
Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
O conjunto é uma base do ?