Sejam
operadores lineares dados por
e
. Determine e descreva geometricamente os operadores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado nos dá dois operadores lineares
e
que transformam vetores no plano
. Nosso objetivo é determinar e descrever geometricamente os operadores
,
,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como somar e compor operadores lineares, além de calcular potências desses operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os operadores
e
.
-
O operador
é definido por . Isso significa que ele pega um vetor e transforma no vetor . Basicamente, ele soma as duas coordenadas e zera a segunda componente. -
O operador
é definido por . Aqui, ele pega e transforma em , o que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.
Passo 3
Vamos calcular
. A soma de dois operadores lineares é feita somando as imagens de cada operador para qualquer vetor
.
Então,
Geometricamente,
transforma todo vetor
em
, ou seja, projeta qualquer vetor no eixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que significa aplicar primeiro
e depois
.
Primeiro aplicamos
:
Depois aplicamos
a esse resultado:
Então,
Geometricamente,
pega
, faz uma rotação de 90 graus e depois projeta no eixo
.
Passo 5
Vamos calcular
, ou seja, aplicar primeiro
e depois
.
Primeiro aplicamos
:
Depois aplicamos
a esse resultado:
Portanto,
Geometricamente,
projeta primeiro no eixo
e depois rotaciona o vetor resultante em 90 graus.
Passo 6
Vamos calcular
, que significa aplicar
duas vezes.
Primeira aplicação de
:
Segunda aplicação de
:
Então,
Isso mostra que aplicar
duas vezes não muda nada além da primeira aplicação, já que o segundo
mantém
igual.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular
, que significa aplicar
duas vezes.
Primeira aplicação de
:
Segunda aplicação de
:
Portanto,
Geometricamente,
corresponde a uma rotação de 180 graus, ou seja, inverte ambos os componentes do vetor original.
Resposta
Os operadores determinados são:
-
: transforma em , projetando vetores na linha . -
: transforma em , rotaciona 90 graus e projeta no eixo . -
: transforma em , projeta no eixo e rotaciona 90 graus. -
: transforma em , igual a . -
: transforma em , realizando uma rotação de 180 graus.
Exercícios relacionados
Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) dilata os vetores do
por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta
e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo
.
b) contrai os vetores do
por um fator
, em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de
e depois reflete esses vetores em torno do eixo
.
a)
b)
Ache o ângulo entre a reta
e o plano
(resp.
ou
)
Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
O conjunto
é uma base do
?