Ache o ângulo entre as retas e (resp. theta=60^circ ou theta=pi3 rad )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulo entre retas. Precisamos identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta x = 1 + t y = t z = 4 está parametrizada por . Aqui, o vetor diretor é .
Já a reta está dada pelas equações paramétricas:
Podemos reescrever isso como , então o vetor diretor é .
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) e , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são os módulos (comprimentos) dos vetores.
é o ângulo entre as retas.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (0)(1) + (1)(1) + (-1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1 :