Ache o ângulo entre as retas e (resp. ou )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulo entre retas. Precisamos identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta está parametrizada por . Aqui, o vetor diretor é .
Já a reta está dada pelas equações paramétricas:
Podemos reescrever isso como , então o vetor diretor é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores e , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (comprimentos) dos vetores.
  • é o ângulo entre as retas.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores:

Passo 6

Substituímos os valores na fórmula do produto escalar para encontrar :

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo cuja cosseno é . Sabemos que:

Resposta

O ângulo entre as retas e é ou radianos.

Exercícios relacionados

Identifique os seguintes subconjuntos do plano .
Determine o centro, os vértices e a extremidade da elipse de equação
Ache o ângulo entre a reta e o plano (resp. ou )
Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) dilata os vetores do por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo .
b) contrai os vetores do por um fator , em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de e depois reflete esses vetores em torno do eixo .