Ache o ângulo entre as retas r:P=(1,1,9)+lambda(0,1,-1) e s:lx=1+t y=t z=4 (resp. theta=60^circ ou theta=pi3 rad )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulo entre retas. Precisamos identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta x = 1 + t y = t z = 4 está parametrizada por . Aqui, o vetor diretor é .
Já a reta está dada pelas equações paramétricas:
Podemos reescrever isso como , então o vetor diretor é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) e , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (comprimentos) dos vetores.
  • é o ângulo entre as retas.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (0)(1) + (1)(1) + (-1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1 :

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|u| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 6

Substituímos os valores na fórmula do produto escalar para encontrar 1 = raiz2 cdot raiz2 cdot cos(theta) :
1 = 2 cdot cos(theta)
cos(theta) = 12

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo theta = 60^circ ou theta = pi3 , rad cuja cosseno é . Sabemos que:

Resposta

O ângulo entre as retas e é ou radianos.

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