Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) dilata os vetores do por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo .
b) contrai os vetores do por um fator , em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de e depois reflete esses vetores em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a matriz do operador linear em relação à base canônica. O operador faz três coisas com os vetores de : primeiro, dilata por um fator 3; depois, reflete em relação à reta ; e por último, projeta ortogonalmente no eixo . Para resolver isso, vamos entender cada transformação e representar cada uma como matriz. Depois, vamos multiplicar essas matrizes na ordem das transformações para obter a matriz final de .
Passo 2
Primeiro, a dilatação por um fator 3. Isso simplesmente multiplica cada componente do vetor por 3. A matriz de dilatação é:
Passo 3
Depois, temos a reflexão em relação à reta . A matriz dessa reflexão troca as coordenadas e :
Passo 4
Por último, a projeção ortogonal no eixo . Isso significa que toda a componente do vetor será zerada, mantendo apenas o :
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz final de , multiplicamos as matrizes na ordem das transformações: dilatação, depois reflexão, depois projeção.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, :
Então, :
Passo 6
Agora vamos para a parte (b). Aqui, o operador faz três coisas: primeiro, contrai os vetores por um fator ; depois, rotaciona no sentido anti-horário por ; e por último, reflete em torno do eixo . Vamos representar cada transformação como matriz e depois multiplicar na ordem correta para encontrar a matriz final de .
Passo 7
Primeiro, a contração por . Isso reduz cada componente do vetor pela metade. A matriz de contração é:
Passo 8
Depois, a rotação anti-horária de . A matriz de rotação é:
Passo 9
Por último, a reflexão em torno do eixo . Isso inverte a componente do vetor:
Passo 10
Agora, vamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações: contração, rotação, e reflexão.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, :
Então, :
Resposta
A matriz do operador em relação à base canônica é: