Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a)
dilata os vetores do
por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta
e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo
.
b)
contrai os vetores do
por um fator
, em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de
e depois reflete esses vetores em torno do eixo
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a matriz do operador linear
em relação à base canônica. O operador
faz três coisas com os vetores de
: primeiro, dilata por um fator 3; depois, reflete em relação à reta
; e por último, projeta ortogonalmente no eixo
. Para resolver isso, vamos entender cada transformação e representar cada uma como matriz. Depois, vamos multiplicar essas matrizes na ordem das transformações para obter a matriz final de
.
Passo 2
Primeiro, a dilatação por um fator 3. Isso simplesmente multiplica cada componente do vetor por 3. A matriz de dilatação é:
Passo 3
Depois, temos a reflexão em relação à reta
. A matriz dessa reflexão troca as coordenadas
e
:
Passo 4
Por último, a projeção ortogonal no eixo
. Isso significa que toda a componente
do vetor será zerada, mantendo apenas o
:
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz final de
, multiplicamos as matrizes na ordem das transformações: dilatação, depois reflexão, depois projeção.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro,
:
Então,
:
Passo 6
Agora vamos para a parte (b). Aqui, o operador
faz três coisas: primeiro, contrai os vetores por um fator
; depois, rotaciona no sentido anti-horário por
; e por último, reflete em torno do eixo
. Vamos representar cada transformação como matriz e depois multiplicar na ordem correta para encontrar a matriz final de
.
Passo 7
Primeiro, a contração por
. Isso reduz cada componente do vetor pela metade. A matriz de contração é:
Passo 8
Depois, a rotação anti-horária de
. A matriz de rotação é:
Passo 9
Por último, a reflexão em torno do eixo
. Isso inverte a componente
do vetor:
Passo 10
Agora, vamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações: contração, rotação, e reflexão.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro,
:
Então,
:
Resposta
A matriz do operador
em relação à base canônica é: