Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) T dilata os vetores do R^2 por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta y=x e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo y.
b) T contrai os vetores do R^2 por um fator k=1 / 2, em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de 45^circ e depois reflete esses vetores em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a matriz do operador linear em relação à base canônica. O operador faz três coisas com os vetores de : primeiro, dilata por um fator 3; depois, reflete em relação à reta ; e por último, projeta ortogonalmente no eixo . Para resolver isso, vamos entender cada transformação e representar cada uma como matriz. Depois, vamos multiplicar essas matrizes na ordem das transformações para obter a matriz final de .

Passo 2

Primeiro, a dilatação por um fator 3. Isso simplesmente multiplica cada componente do vetor por 3. A matriz de dilatação é:
D = 3 & 0 0 & 3

Passo 3

Depois, temos a reflexão em relação à reta R = 0 & 1 1 & 0 . A matriz dessa reflexão troca as coordenadas e :

Passo 4

Por último, a projeção ortogonal no eixo P = 0 & 0 0 & 1 . Isso significa que toda a componente do vetor será zerada, mantendo apenas o :

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz final de T = P cdot R cdot D , multiplicamos as matrizes na ordem das transformações: dilatação, depois reflexão, depois projeção.
R cdot D = 0 & 1 1 & 0 cdot 3 & 0 0 & 3 = 0 cdot 3 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot 3 1 cdot 3 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot 3 = 0 & 3 3 & 0
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, P cdot 0 & 3 3 & 0 = 0 & 0 0 & 1 cdot 0 & 3 3 & 0 = 0 cdot 0 + 0 cdot 3 & 0 cdot 3 + 0 cdot 0 0 cdot 0 + 1 cdot 3 & 0 cdot 3 + 1 cdot 0 = 0 & 0 3 & 0 :
Então, :

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). Aqui, o operador faz três coisas: primeiro, contrai os vetores por um fator ; depois, rotaciona no sentido anti-horário por ; e por último, reflete em torno do eixo . Vamos representar cada transformação como matriz e depois multiplicar na ordem correta para encontrar a matriz final de .

Passo 7

Primeiro, a contração por C = 12 & 0 0 & 12 . Isso reduz cada componente do vetor pela metade. A matriz de contração é:

Passo 8

Depois, a rotação anti-horária de R = cos 45^circ & -sin 45^circ sin 45^circ & cos 45^circ = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 . A matriz de rotação é:

Passo 9

Por último, a reflexão em torno do eixo M = 1 & 0 0 & -1 . Isso inverte a componente do vetor:

Passo 10

Agora, vamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações: contração, rotação, e reflexão.
T = M cdot R cdot C
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, R cdot C = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 cdot 12 & 0 0 & 12 = raiz22 cdot 12 + (-raiz22) cdot 0 & raiz22 cdot 0 + (-raiz22) cdot 12 raiz22 cdot 12 + raiz22 cdot 0 & raiz22 cdot 0 + raiz22 cdot 12 = raiz24 & -raiz24 raiz24 & raiz24 :
M cdot raiz24 & -raiz24 raiz24 & raiz24 = 1 & 0 0 & -1 cdot raiz24 & -raiz24 raiz24 & raiz24 = 1 cdot raiz24 + 0 cdot raiz24 & 1 cdot (-raiz24) + 0 cdot raiz24 0 cdot raiz24 + (-1) cdot raiz24 & 0 cdot (-raiz24) + (-1) cdot raiz24 = raiz24 & -raiz24 -raiz24 & -raiz24
Então, :

Resposta

A matriz do operador T = raiz24 & -raiz24 -raiz24 & -raiz24 em relação à base canônica é:

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