Identifique os seguintes subconjuntos do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificarmos os subconjuntos do plano definidos pela equação
. Isso está relacionado ao estudo das conic na geometria analítica. Para resolver, vamos completar o quadrado nas variáveis
e
e identificar qual tipo de figura geométrica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de
e de
:
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Para o
:
Para o
, fatoramos o coeficiente de
:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 16 para deixar a equação na forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse na forma padrão:
onde
é o centro,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 6
Comparando com a nossa equação:
- Centro:
-
então -
então
Passo 7
Portanto, os subconjuntos do plano definidos por
são:
- Uma elipse com centro em
- Semi-eixo maior de comprimento 4 ao longo do eixo
- Semi-eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo
Resposta
A equação
representa uma elipse no plano, com centro em
, semi-eixo maior de 4 unidades na direção do eixo
e semi-eixo menor de 2 unidades na direção do eixo
.