Identifique os seguintes subconjuntos do plano A= (x, y) mid x^2+2 x+4 y^2-24 y+21=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificarmos os subconjuntos do plano definidos pela equação . Isso está relacionado ao estudo das conic na geometria analítica. Para resolver, vamos completar o quadrado nas variáveis e e identificar qual tipo de figura geométrica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y + 21 = 0 e de :
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Para o x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1 :
4y^2 - 24y = 4(y^2 - 6y) = 4[(y^2 - 6y + 9) - 9] = 4(y - 3)^2 - 36
Para o , fatoramos o coeficiente de :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 + 21 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 16 = 0
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 16

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 16 para deixar a equação na forma padrão:
(x + 1)^216 + (y - 3)^24 = 1
Essa é a equação de uma elipse na forma padrão:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 6

Comparando com a nossa equação:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 7

Portanto, os subconjuntos do plano definidos por são:
  • Uma elipse com centro em
  • Semi-eixo maior de comprimento 4 ao longo do eixo
  • Semi-eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo

Resposta

A equação representa uma elipse no plano, com centro em , semi-eixo maior de 4 unidades na direção do eixo e semi-eixo menor de 2 unidades na direção do eixo .

Exercícios relacionados