Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificarmos os subconjuntos do plano definidos pela equação . Isso está relacionado ao estudo das conic na geometria analítica. Para resolver, vamos completar o quadrado nas variáveis e e identificar qual tipo de figura geométrica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de e de :
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Para o :
Para o , fatoramos o coeficiente de :
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 16 para deixar a equação na forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse na forma padrão:
onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
Passo 6
Comparando com a nossa equação:
Centro:
então
então
Passo 7
Portanto, os subconjuntos do plano definidos por são:
Uma elipse com centro em
Semi-eixo maior de comprimento 4 ao longo do eixo
Semi-eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo
Resposta
A equação representa uma elipse no plano, com centro em , semi-eixo maior de 4 unidades na direção do eixo e semi-eixo menor de 2 unidades na direção do eixo .