Identifique os seguintes subconjuntos do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificarmos os subconjuntos do plano definidos pela equação . Isso está relacionado ao estudo das conic na geometria analítica. Para resolver, vamos completar o quadrado nas variáveis e e identificar qual tipo de figura geométrica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de e de :
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Para o :
Para o , fatoramos o coeficiente de :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 16 para deixar a equação na forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse na forma padrão:
onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 6

Comparando com a nossa equação:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 7

Portanto, os subconjuntos do plano definidos por são:
  • Uma elipse com centro em
  • Semi-eixo maior de comprimento 4 ao longo do eixo
  • Semi-eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo

Resposta

A equação representa uma elipse no plano, com centro em , semi-eixo maior de 4 unidades na direção do eixo e semi-eixo menor de 2 unidades na direção do eixo .

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