Ache o ângulo entre as retas
r:l y=2 x-3 z=-4 x+5
e
s:l y=2 x+1 z=-4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar o ângulo entre duas retas no espaço. As retas são dadas pelas equações:
r:l y=2 x-3 z=-4 x+5
e
s:l y=2 x+1 z=-4 x
Para resolver isso, a gente vai precisar usar geometria vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre dois vetores que indicam a direção das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes de u = 1 2 -4 representam as componentes do vetor diretor.
Para a reta v = 1 2 -4 :
  • → componente do vetor é 2
  • → componente do vetor é -4
  • A componente sempre é 1 (já que é o parâmetro)
Então, o vetor diretor de é:
Para a reta :
  • → componente do vetor é 2
  • → componente do vetor é -4
  • A componente também é 1
Então, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para encontrar o ângulo cos theta = u cdot v||u|| , ||v|| entre as retas:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores
  • e são as normas (ou módulos) dos vetores
Vamos calcular cada parte.

Passo 4

Primeiro, calculando o produto escalar:
u cdot v = (1)(1) + (2)(2) + (-4)(-4) = 1 + 4 + 16 = 21
Agora, as normas dos vetores:
||u|| = raiz1^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21
||v|| = raiz1^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21
Substituindo na fórmula:
cos theta = 21raiz21 times raiz21 = 2121 = 1
Para encontrar o ângulo theta = cos^-1(1) = 0^circ , usamos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de 0 graus.

Exercícios relacionados

Calcule o ângulo formado pelas retas
r:lll x & = & 3+t y & = & t z & = & -1-2 t
e
s:llc x & = & 2-3 t y & = & 3+t z & = & t
Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(1,-1,-1) e B=(-2,-2,2)
Calcule o ângulo formado pelas retas
& r:llc x & = & 3-t y & = & t z & = & -1-2 t & s:ccc x & = & -2-2 t y & = & 3+t z & = & t
e
Defina espaço vetorial sobre R.