Defina espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definir o que é um espaço vetorial sobre
. Isso está ligado à Álgebra Linear, onde estudamos estruturas matemáticas que envolvem vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que compõe um espaço vetorial e quais propriedades ele deve ter.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (números reais, no caso de
).
Passo 3
Agora, para que um conjunto
com essas operações seja considerado um espaço vetorial sobre
, ele precisa satisfazer oito axiomas. Esses axiomas garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de maneira organizada e previsível. Vamos listar e explicar cada um deles:
- Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer
e em , a soma também deve estar em . - Comutatividade da adição: A ordem na soma não altera o resultado, ou seja,
. - Associatividade da adição: Quando somamos três vetores, a forma de agrupar não altera o resultado:
. - Existência do elemento neutro: Deve existir um vetor zero
em tal que para qualquer vetor em . - Existência do elemento inverso: Para cada vetor
em , deve existir um vetor em tal que . - Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor
por um número real , o resultado também deve estar em . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
, onde e são escalares em . - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar:
, onde é o número real unitário.
Passo 4
Com esses axiomas em mente, podemos dizer que qualquer conjunto
que, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todas essas propriedades, é considerado um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Um espaço vetorial sobre
é um conjunto
equipado com duas operações — a adição de vetores e a multiplicação por escalares reais — que satisfazem os oito axiomas fundamentais dos espaços vetoriais, garantindo que essas operações sejam bem definidas e comportem-se de maneira consistente.