Defina espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definir o que é um espaço vetorial sobre R. Isso está ligado à Álgebra Linear, onde estudamos estruturas matemáticas que envolvem vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que compõe um espaço vetorial e quais propriedades ele deve ter.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (números reais, no caso de R).

Passo 3

Agora, para que um conjunto V com essas operações seja considerado um espaço vetorial sobre R, ele precisa satisfazer oito axiomas. Esses axiomas garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de maneira organizada e previsível. Vamos listar e explicar cada um deles:
  1. Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer u e v em V, a soma u + v também deve estar em V.
  2. Comutatividade da adição: A ordem na soma não altera o resultado, ou seja, u + v = v + u.
  3. Associatividade da adição: Quando somamos três vetores, a forma de agrupar não altera o resultado: (u + v) + w = u + (v + w).
  4. Existência do elemento neutro: Deve existir um vetor zero 0 em V tal que u + 0 = u para qualquer vetor u em V.
  5. Existência do elemento inverso: Para cada vetor u em V, deve existir um vetor -u em V tal que u + (-u) = 0.
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor u por um número real c, o resultado c cdot u também deve estar em V.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u, onde c e d são escalares em R.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: c cdot (d cdot u) = (c cdot d) cdot u.
  10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 cdot u = u, onde 1 é o número real unitário.

Passo 4

Com esses axiomas em mente, podemos dizer que qualquer conjunto V que, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todas essas propriedades, é considerado um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V equipado com duas operações — a adição de vetores e a multiplicação por escalares reais — que satisfazem os oito axiomas fundamentais dos espaços vetoriais, garantindo que essas operações sejam bem definidas e comportem-se de maneira consistente.

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