Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(1,-1,-1) e B=(-2,-2,2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta quer que a gente encontre as equações paramétricas de uma reta que passa pelos pontos e . Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente ao estudo de retas no espaço tridimensional.
Para resolver, vamos precisar:
  • Entender o que são equações paramétricas de uma reta.
  • Encontrar o vetor diretor da reta, que indica a direção em que a reta segue.
  • Usar um dos pontos dados como ponto de referência para escrever as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é basicamente a “diferença” entre os dois pontos que a reta passa. Para achar esse vetor, subtraímos as coordenadas de d = B - A = (-2 - 1, -2 - (-1), 2 - (-1)) = (-3, -1, 3) das coordenadas de :
Então, o vetor diretor .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t da reta em função de um parâmetro , que pode variar ao longo da reta.
A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é:
Vamos usar o ponto como ponto de referência e o vetor diretor .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
x = 1 + (-3) cdot t y = -1 + (-1) cdot t z = -1 + 3 cdot t
Simplificando, fica:
x = 1 - 3t y = -1 - t z = -1 + 3t

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 1 - 3t y = -1 - t z = -1 + 3t são:

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(-7,-3,2) e B=(7,-9,10)
Dois universitários, Alberto e Breno, moram na mesma cidade e estão em pontos diferentes, A e B respectivamente. A distância entre eles é de 2,2 Km. Está chovendo, e eles estão conversando pelo celular quando um deles ouve um trovão forte. Depois de alguns segundos o outro também ouve o trovão. Alberto diz a Breno que irá desenhar no mapa da cidade uma curva mostrando onde o raio pode ter caído. Usando a velocidade do som, Alberto conclui que o ponto P onde o raio caiu tem que satisfazer a seguinte propriedade |d(P, A)-d(P, B)|=1,8 Km. Breno sugere que Alberto use um sistema de coordenadas usando 1 Km como unidade e com a origem exatamente no ponto médio entre A e B de modo que A fique numa coordenada positiva do eixo x.
Alguns minutos depois, Alberto recebe uma notícia dizendo que o raio danificou a linha de trem que passa próximo deles. Olhando no mapa, Breno estima que a linha situa-se praticamente na reta y=2. Breno diz que consegue descobrir a primeira coordenada do ponto P onde o raio caiu pois sabe que Alberto ouviu o trovão primeiro.
Qual é o valor da primeira coordenada do ponto P ?
Calcule o ângulo formado pelas retas
r:lll x & = & 3+t y & = & t z & = & -1-2 t
e
s:llc x & = & 2-3 t y & = & 3+t z & = & t
Ache o ângulo entre as retas
r:l y=2 x-3 z=-4 x+5
e
s:l y=2 x+1 z=-4 x