Calcule o ângulo formado pelas retas
& r:llc x & = & 3-t y & = & t z & = & -1-2 t & s:ccc x & = & -2-2 t y & = & 3+t z & = & t
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o ângulo formado pelas retas e definidas pelas equações paramétricas dadas. Isso envolve conceitos de geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre como determinar o ângulo entre duas retas. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas, os coeficientes de x = 3 - t y = t z = -1 - 2t representam a direção das retas.
Para a reta -1 1 -2 :
x = -2 - 2t y = 3 + t z = t
O vetor diretor de -2 1 1 é .
Para a reta :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do ângulo cos(theta) = vr cdot vs|vr| , |vs| entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar:
vr cdot vs = (-1)(-2) + (1)(1) + (-2)(1) = 2 + 1 - 2 = 1
Em seguida, calculamos as normas dos vetores:
|vr| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
|vs| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 1raiz6 times raiz6 = 16
Para encontrar o ângulo theta = arccos(16) approx 80,41^circ , aplicamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo formado pelas retas e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Ache o ângulo entre as retas
r:l y=2 x-3 z=-4 x+5
e
s:l y=2 x+1 z=-4 x
Calcule o ângulo formado pelas retas
r:lll x & = & 3+t y & = & t z & = & -1-2 t
e
s:llc x & = & 2-3 t y & = & 3+t z & = & t
Defina espaço vetorial sobre R.
Calcule a distância entre as retas
r:llc y & = & x+2 z & = & -x+1
e
s: x & =-1+t y & =2-t z & =-t