Calcule o ângulo formado pelas retas
r:lll x & = & 3+t y & = & t z & = & -1-2 t
e
s:llc x & = & 2-3 t y & = & 3+t z & = & t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo formado pelas retas e , que estão dadas nas formas paramétricas. Para isso, vamos usar um conceito de geometria analítica que envolve vetores diretores das retas e o produto escalar. Vamos por partes para entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: l x = 3 + t y = t z = -1 - 2t e 1 1 -2 . A forma paramétrica de uma reta nos dá exatamente isso, os coeficientes dos parâmetros indicam a direção da reta.
  • Para a reta s: l x = 2 - 3t y = 3 + t z = t :
    -3 1 1
    O vetor diretor de é .
  • Para a reta :
    O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo cos(theta) = v cdot w|v| cdot |w| entre eles. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot w = (1)(-3) + (1)(1) + (-2)(1) = -3 + 1 - 2 = -4 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |v| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 e |w| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11 :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -4raiz6 cdot raiz11 = -4raiz66
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-4raiz66) , tiramos o arco cosseno:

Passo 7

Vamos calcular numericamente esse valor:
theta approx arccos(-48.124) approx arccos(-0.492) approx 119.4^circ

Resposta

O ângulo formado pelas retas e é aproximadamente .

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Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(1,-1,-1) e B=(-2,-2,2)
Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(-7,-3,2) e B=(7,-9,10)
Ache o ângulo entre as retas
r:l y=2 x-3 z=-4 x+5
e
s:l y=2 x+1 z=-4 x
Calcule o ângulo formado pelas retas
& r:llc x & = & 3-t y & = & t z & = & -1-2 t & s:ccc x & = & -2-2 t y & = & 3+t z & = & t
e