Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores: (a) 2 i+j e j-k; (b) i+j+k e -2 j-2 k; © 3 i+3 j e 2 i+j-2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar o ângulo entre pares de vetores. A matéria que vamos usar aqui é a de produto escalar entre vetores. O que a gente precisa saber é que o ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.
  • é o ângulo entre eles.
Vamos precisar calcular o produto escalar e as magnitudes dos vetores para cada par e, depois, usar a fórmula para achar o ângulo.

Passo 2

Parte (a): u = 2i + j, v = j - k e u cdot v = (2)(0) + (1)(1) + (0)(-1) = 0 + 1 + 0 = 1
Primeiro, identifiquemos os vetores:
|u| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Produto Escalar:
|v| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Magnitude dos Vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| = 1raiz5 cdot raiz2 = 1raiz10
theta = cos^-1( 1raiz10 ) approx 71,57^circ
Calculando o Ângulo:

Passo 3

Parte (b): u = i + j + k, v = -2j - 2k e u cdot v = (1)(0) + (1)(-2) + (1)(-2) = 0 - 2 - 2 = -4
Identificando os vetores:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Produto Escalar:
|v| = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Magnitude dos Vetores:
cos(theta) = -4raiz3 cdot 2raiz2 = -42raiz6 = -2raiz6 = -raiz63
theta = cos^-1( -raiz63 ) approx 135^circ
Calculando o Ângulo:

Passo 4

Parte ©: u = 3i + 3j, v = 2i + j - 2k e u cdot v = (3)(2) + (3)(1) + (0)(-2) = 6 + 3 + 0 = 9
Identificando os vetores:
|u| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 = raiz18 = 3raiz2
Produto Escalar:
|v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Magnitude dos Vetores:
cos(theta) = 93raiz2 cdot 3 = 99raiz2 = 1raiz2
theta = cos^-1( 1raiz2 ) = 45^circ
Calculando o Ângulo:

Resposta

(a) Aproximadamente ; (b) ; © .

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