Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:
(a) e ;
(b) e ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se quatro pontos dados pertencem ao mesmo plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e geometria analítica, em especial o produto escalar e o produto vetorial. Vamos precisar calcular vetores a partir dos pontos e verificar se eles são coplanares.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Os pontos são:
Escolhemos o ponto como base e calculamos os vetores , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois, e é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar entre AB cdot (AC times AD) = (1, -1, 1) cdot (2, 0, 0) = 1 cdot 2 + (-1) cdot 0 + 1 cdot 0 = 2 + 0 + 0 = 2 e o resultado do produto vetorial :
Passo 5
O resultado do produto escalar é , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores não são coplanares, ou seja, os pontos , , e não pertencem ao mesmo plano.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Os pontos são:
AB = B - A = (3-2, 2-0, 0-2) = (1, 2, -2)
AC = C - A = (0-2, 2-0, 1-2) = (-2, 2, -1)
AD = D - A = (10-2, -2-0, 1-2) = (8, -2, -1)
Escolhemos novamente o ponto como base e calculamos os vetores , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 7
Vamos calcular o produto vetorial entre AC times AD = i & j & k -2 & 2 & -1 8 & -2 & -1 e AC times AD = i(2 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) - j((-2) cdot (-1) - (-1) cdot 8) + k((-2) cdot (-2) - 2 cdot 8) :
= i(-2 - 2) - j(2 - (-8)) + k(4 - 16)
Calculando o determinante:
= -4i - 10j -12k = (-4, -10, -12)
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar entre AB cdot (AC times AD) = (1, 2, -2) cdot (-4, -10, -12) = 1 cdot (-4) + 2 cdot (-10) + (-2) cdot (-12) = -4 -20 +24 = 0 e :
Passo 9
O resultado do produto escalar é , o que indica que os vetores são coplanares. Portanto, os pontos , , e pertencem ao mesmo plano.
Resposta
Na parte (b), os pontos , , e pertencem ao mesmo plano.