Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:
(a) A=(2,2,1), B=(3,1,2), C=(2,3,0) e D=(2,3,2);
(b) A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1) e D=(10,-2,1);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se quatro pontos dados pertencem ao mesmo plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e geometria analítica, em especial o produto escalar e o produto vetorial. Vamos precisar calcular vetores a partir dos pontos e verificar se eles são coplanares.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Os pontos são:
  • AB = B - A = (3-2, 1-2, 2-1) = (1, -1, 1)
  • AC = C - A = (2-2, 3-2, 0-1) = (0, 1, -1)
  • AD = D - A = (2-2, 3-2, 2-1) = (0, 1, 1)
Escolhemos o ponto como base e calculamos os vetores , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AC times AD = i & j & k 0 & 1 & -1 0 & 1 & 1 e AC times AD = i(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) - j(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 0) = 2i + 0j + 0k = (2, 0, 0) . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois, e é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre AB cdot (AC times AD) = (1, -1, 1) cdot (2, 0, 0) = 1 cdot 2 + (-1) cdot 0 + 1 cdot 0 = 2 + 0 + 0 = 2 e o resultado do produto vetorial :

Passo 5

O resultado do produto escalar é , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores não são coplanares, ou seja, os pontos , , e não pertencem ao mesmo plano.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Os pontos são:
  • AB = B - A = (3-2, 2-0, 0-2) = (1, 2, -2)
  • AC = C - A = (0-2, 2-0, 1-2) = (-2, 2, -1)
  • AD = D - A = (10-2, -2-0, 1-2) = (8, -2, -1)
Escolhemos novamente o ponto como base e calculamos os vetores , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 7

Vamos calcular o produto vetorial entre AC times AD = i & j & k -2 & 2 & -1 8 & -2 & -1 e AC times AD = i(2 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) - j((-2) cdot (-1) - (-1) cdot 8) + k((-2) cdot (-2) - 2 cdot 8) :
= i(-2 - 2) - j(2 - (-8)) + k(4 - 16)
Calculando o determinante:
= -4i - 10j -12k = (-4, -10, -12)

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar entre AB cdot (AC times AD) = (1, 2, -2) cdot (-4, -10, -12) = 1 cdot (-4) + 2 cdot (-10) + (-2) cdot (-12) = -4 -20 +24 = 0 e :

Passo 9

O resultado do produto escalar é , o que indica que os vetores são coplanares. Portanto, os pontos , , e pertencem ao mesmo plano.

Resposta

Na parte (b), os pontos , , e pertencem ao mesmo plano.

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