Verifique se
é um espaço vetorial verificando os seguintes itens:
© Existência do vetor zero.
© Existência do vetor zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é um espaço vetorial, focando especificamente na existência do vetor zero. Isso está ligado ao estudo de espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e, mais especificamente, o que constitui o vetor zero nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
. Esse conjunto representa todas as funções contínuas definidas no intervalo
. Ou seja, qualquer função
que você possa imaginar, que não salte ou tenha quebras nesse intervalo, está em
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é um vetor zero em um espaço vetorial. O vetor zero é uma função que, quando adicionada a qualquer outra função no espaço, não altera essa função. Em termos matemáticos, para toda função
em
, deve ser válido que:
Passo 4
Então, qual seria essa função zero em
? É a função que atribui zero a todo ponto no intervalo
. Vamos defini-la como
para todo
.
Passo 5
Vamos verificar se essa função realmente atua como o vetor zero. Tomemos qualquer função
. A soma das duas funções é dada por:
Então,
, o que confirma que
é o vetor zero em
.
Resposta
Sim,
contém o vetor zero, que é a função constante
para todo
.