Verifique se C[0,1] é um espaço vetorial verificando os seguintes itens:
© Existência do vetor zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um espaço vetorial, focando especificamente na existência do vetor zero. Isso está ligado ao estudo de espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e, mais especificamente, o que constitui o vetor zero nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é . Esse conjunto representa todas as funções contínuas definidas no intervalo . Ou seja, qualquer função que você possa imaginar, que não salte ou tenha quebras nesse intervalo, está em .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é um vetor zero em um espaço vetorial. O vetor zero é uma função que, quando adicionada a qualquer outra função no espaço, não altera essa função. Em termos matemáticos, para toda função f + 0 = f em , deve ser válido que:

Passo 4

Então, qual seria essa função zero em ? É a função que atribui zero a todo ponto no intervalo . Vamos defini-la como para todo .

Passo 5

Vamos verificar se essa função realmente atua como o vetor zero. Tomemos qualquer função (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x) . A soma das duas funções é dada por:
Então, , o que confirma que é o vetor zero em .

Resposta

Sim, contém o vetor zero, que é a função constante para todo .

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