Seja
um homomorfismo de anéis, então
é um ideal de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre homomorfismos de anéis, que é um conceito da Álgebra, mais especificamente da teoria dos anéis. Nosso objetivo aqui é mostrar que, se temos uma função
que é um homomorfismo de anéis de
para
, então o conjunto
(que é o núcleo de
) é um ideal de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis, o que é o núcleo dessa função, e o que caracteriza um ideal em um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, se
é um homomorfismo, então para quaisquer elementos
em
:
Passo 3
Agora, o núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para o elemento neutro de
em relação à multiplicação. Formalmente:
Esse núcleo vai ser o nosso candidato a ideal.
Passo 4
Para mostrar que
é um ideal de
, precisamos verificar duas coisas:
-
é um subgrupo aditivo de . -
absorve a multiplicação por qualquer elemento de .
Passo 5
Vamos começar verificando se
é um subgrupo aditivo:
- Elemento neutro:
está em porque (já que é um homomorfismo). - Fechamento por adição: Se
, então e . Então,
- Inverso aditivo: Se
, então
Assim,é um subgrupo aditivo de .
Passo 6
Agora, vamos ver se
absorve a multiplicação:
- Seja
e . Precisamos mostrar que e estão em .
Portanto,
e
estão em
, cumprindo a condição de absorção.
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz todas as condições para ser um ideal de
. Portanto,
é de fato um ideal de
.