Seja f: A longrightarrow B um homomorfismo de anéis, então I=N(f) é um ideal de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre homomorfismos de anéis, que é um conceito da Álgebra, mais especificamente da teoria dos anéis. Nosso objetivo aqui é mostrar que, se temos uma função que é um homomorfismo de anéis de para , então o conjunto (que é o núcleo de ) é um ideal de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis, o que é o núcleo dessa função, e o que caracteriza um ideal em um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, se f(a + b) = f(a) + f(b) e f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) é um homomorfismo, então para quaisquer elementos em :

Passo 3

Agora, o núcleo de N(f) = a in A mid f(a) = 0B , denotado por , é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para o elemento neutro de em relação à multiplicação. Formalmente:
Esse núcleo vai ser o nosso candidato a ideal.

Passo 4

Para mostrar que é um ideal de , precisamos verificar duas coisas:
  1. é um subgrupo aditivo de .
  2. absorve a multiplicação por qualquer elemento de .

Passo 5

Vamos começar verificando se f(a + b) = f(a) + f(b) = 0B + 0B = 0B implies a + b in I é um subgrupo aditivo:
  • Elemento neutro: está em porque (já que é um homomorfismo).
  • Fechamento por adição: Se , então e . Então,
  • Inverso aditivo: Se , então
    Assim, é um subgrupo aditivo de .

Passo 6

Agora, vamos ver se f(r cdot a) = f(r) cdot f(a) = f(r) cdot 0B = 0B absorve a multiplicação:
  • Seja f(a cdot r) = f(a) cdot f(r) = 0B cdot f(r) = 0B e . Precisamos mostrar que e estão em .
Portanto, e estão em , cumprindo a condição de absorção.

Resposta

Assim, mostramos que satisfaz todas as condições para ser um ideal de . Portanto, é de fato um ideal de .

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