Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores: i+j+k e-2 j-2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores: i + j + k e -2j - 2k. Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores. Isso vai nos ajudar a calcular o ângulo entre esses dois vetores de forma bem direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores A e B é calculado assim:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
No nosso caso, o primeiro vetor é A = i + j + k, que tem as componentes Ax = 1, Ay = 1 e Az = 1. O segundo vetor é B = -2j - 2k, com componentes Bx = 0, By = -2 e Bz = -2 (não tem componente na direção i, por isso Bx = 0).
Vamos calcular o produto escalar:
A cdot B = (1)(0) + (1)(-2) + (1)(-2) = 0 - 2 - 2 = -4

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos dois vetores. A magnitude de um vetor A = (Ax, Ay, Az) é dada por:
|A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2
Vamos calcular para cada vetor:
Para A = i + j + k:
|A| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Para B = -2j - 2k:
|B| = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona essas quantidades com o ângulo theta entre os vetores:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Vamos isolar o cosseno do ângulo:
cos(theta) = A cdot B|A| cdot |B| = -4raiz3 cdot 2raiz2 = -42raiz6 = -2raiz6
Para achar o ângulo theta, vamos aplicar a função arco cosseno:
theta = arccos(-2raiz6)
Calculando esse valor:
theta approx arccos(-0.8165) approx 144^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores é aproximadamente 144°.

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