Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores: e . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores. Isso vai nos ajudar a calcular o ângulo entre esses dois vetores de forma bem direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é calculado assim:
No nosso caso, o primeiro vetor é , que tem as componentes , e . O segundo vetor é , com componentes , e (não tem componente na direção , por isso ).
Vamos calcular o produto escalar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos dois vetores. A magnitude de um vetor é dada por:
Vamos calcular para cada vetor:
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona essas quantidades com o ângulo entre os vetores:
Vamos isolar o cosseno do ângulo:
Para achar o ângulo , vamos aplicar a função arco cosseno:
Calculando esse valor:

Resposta

O ângulo entre os vetores é aproximadamente 144°.

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