Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores:
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores. Isso vai nos ajudar a calcular o ângulo entre esses dois vetores de forma bem direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é calculado assim:
No nosso caso, o primeiro vetor é
, que tem as componentes
,
e
. O segundo vetor é
, com componentes
,
e
(não tem componente na direção
, por isso
).
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos dois vetores. A magnitude de um vetor
é dada por:
Vamos calcular para cada vetor:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona essas quantidades com o ângulo
entre os vetores:
Vamos isolar o cosseno do ângulo:
Para achar o ângulo
, vamos aplicar a função arco cosseno:
Calculando esse valor:
Resposta
O ângulo entre os vetores é aproximadamente 144°.
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