Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau , cujos gráficos não passam pela origem

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau, da forma onde e , que não passam pela origem, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades necessárias são atendidas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um espaço vetorial deve conter o vetor zero. No caso das funções, o vetor zero é a função , ou seja, . Mas, no nosso conjunto, tanto quanto são diferentes de zero. Portanto, a função zero não está incluída no conjunto.

Passo 3

Além disso, para ser um espaço vetorial, o conjunto deve ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos verificar a adição: se pegarmos duas funções e , a soma delas é . É possível que ou , o que faria com que a função resultante não estivesse no conjunto original.

Passo 4

Além disso, na multiplicação por escalar, se multiplicarmos uma função por um escalar , obtemos , que é a função zero, não pertencente ao conjunto.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não contém a função zero, violando o axioma da presença do vetor zero.

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