Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau
, cujos gráficos não passam pela origem
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau, da forma
onde
e
, que não passam pela origem, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades necessárias são atendidas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um espaço vetorial deve conter o vetor zero. No caso das funções, o vetor zero é a função
, ou seja,
. Mas, no nosso conjunto, tanto
quanto
são diferentes de zero. Portanto, a função zero não está incluída no conjunto.
Passo 3
Além disso, para ser um espaço vetorial, o conjunto deve ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos verificar a adição: se pegarmos duas funções
e
, a soma delas é
. É possível que
ou
, o que faria com que a função resultante não estivesse no conjunto original.
Passo 4
Além disso, na multiplicação por escalar, se multiplicarmos uma função
por um escalar
, obtemos
, que é a função zero, não pertencente ao conjunto.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial porque não contém a função zero, violando o axioma da presença do vetor zero.
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.
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