Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções quadráticas cujos gráficos passam pela origem

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre espaços vetoriais. Precisamos descobrir se o conjunto de todas as funções quadráticas que passam pela origem, junto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Se não for, a gente identifica qual das regras (axiomas) de espaço vetorial não está valendo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função quadrática que passa pela origem. Geralmente, uma função quadrática tem a forma:
Como ela passa pela origem, isso significa que quando , . Vamos substituir:
Portanto, , e nossa função fica:
Então, o conjunto que estamos analisando é todas as funções da forma , onde e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos ver se esse conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções desse conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto.
Seja:
Somando as duas funções:
Vemos que o resultado ainda é uma função da forma . Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma função do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja:
é um número real.
Multiplicando a função por :
Novamente, o resultado é uma função da forma . Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Além da fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial. Os principais axiomas incluem:
  1. Associatividade da adição:
  2. Elemento neutro da adição: Existe uma função zero tal que
  3. Elemento inverso da adição: Para cada , existe tal que
  4. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de funções:
  5. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
  6. Associatividade da multiplicação por escalar:
  7. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
No nosso caso, todas essas propriedades são satisfeitas porque as operações de adição e multiplicação por escalar de funções polinomiais seguem essas regras naturalmente.

Resposta

O conjunto de todas as funções quadráticas que passam pela origem, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial.

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