Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções quadráticas cujos gráficos passam pela origem
O conjunto de todas as funções quadráticas cujos gráficos passam pela origem
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre espaços vetoriais. Precisamos descobrir se o conjunto de todas as funções quadráticas que passam pela origem, junto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Se não for, a gente identifica qual das regras (axiomas) de espaço vetorial não está valendo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função quadrática que passa pela origem. Geralmente, uma função quadrática tem a forma:
Como ela passa pela origem, isso significa que quando
,
. Vamos substituir:
Portanto,
, e nossa função fica:
Então, o conjunto que estamos analisando é todas as funções da forma
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos ver se esse conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções desse conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto.
Seja:
Somando as duas funções:
Vemos que o resultado ainda é uma função da forma
. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma função do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja:
Multiplicando a função por
:
Novamente, o resultado é uma função da forma
. Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Além da fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial. Os principais axiomas incluem:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe uma função zero
tal que - Elemento inverso da adição: Para cada
, existe tal que - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de funções:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Associatividade da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
No nosso caso, todas essas propriedades são satisfeitas porque as operações de adição e multiplicação por escalar de funções polinomiais seguem essas regras naturalmente.
Resposta
O conjunto de todas as funções quadráticas que passam pela origem, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial.
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.
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