Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
M1,1

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos verificar se o conjunto M1,1, juntamente com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos conferir se todos os dez axiomas dos espaços vetoriais são atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é M1,1. Esse conjunto representa todas as matrizes de ordem 1x1. Cada matriz 1x1 pode ser vista como um número real, já que uma matriz 1x1 é simplesmente um único número. Portanto, M1,1 é essencialmente igual ao conjunto dos números reais R.

Passo 3

Agora, vamos verificar cada um dos dez axiomas dos espaços vetoriais para o conjunto M1,1 com as operações usuais:
  1. Fechamento sob adição: Se somarmos duas matrizes 1x1, o resultado será outra matriz 1x1. Por exemplo, se A = [a] e B = [b], então A + B = [a + b], que também está em M1,1. Portanto, este axioma é válido.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz 1x1 por um escalar c, o resultado será cA = [c cdot a], que também está em M1,1. Assim, este axioma é atendido.
  3. Associatividade da adição: A adição de matrizes 1x1 é associativa porque (A + B) + C = A + (B + C). Por exemplo, ([a] + [b]) + [c] = [a + b] + [c] = [a + b + c] e [a] + ([b] + [c]) = [a] + [b + c] = [a + b + c].
  4. Comutatividade da adição: A adição de matrizes 1x1 é comutativa, ou seja, A + B = B + A. Por exemplo, [a] + [b] = [b] + [a] = [a + b].
  5. Existência do elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero em M1,1, que é [0], tal que A + [0] = A para qualquer matriz A em M1,1.
  6. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz A = [a] em M1,1, existe uma matriz -A = [-a] tal que A + (-A) = [0].
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalar: Para quaisquer escalares c e d, e para qualquer matriz A, temos c(dA) = (cd)A. Por exemplo, c(d[a]) = c[da] = [cda] e (cd)[a] = [cda].
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz A por 1 não altera a matriz, ou seja, 1A = A.
  9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer escalar c e matrizes A e B, temos c(A + B) = cA + cB. Por exemplo, c([a] + [b]) = c[a + b] = [c(a + b)] = [ca + cb] = [ca] + [cb].
  10. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer escalares c e d, e para qualquer matriz A, temos (c + d)A = cA + dA. Por exemplo, (c + d)[a] = [(c + d)a] = [ca + da] = [ca] + [da].

Resposta

O conjunto M1,1, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os dez axiomas necessários.

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