Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos verificar se o conjunto , juntamente com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos conferir se todos os dez axiomas dos espaços vetoriais são atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto representa todas as matrizes de ordem 1x1. Cada matriz 1x1 pode ser vista como um número real, já que uma matriz 1x1 é simplesmente um único número. Portanto, é essencialmente igual ao conjunto dos números reais .

Passo 3

Agora, vamos verificar cada um dos dez axiomas dos espaços vetoriais para o conjunto com as operações usuais:
  1. Fechamento sob adição: Se somarmos duas matrizes 1x1, o resultado será outra matriz 1x1. Por exemplo, se e , então , que também está em . Portanto, este axioma é válido.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz 1x1 por um escalar , o resultado será , que também está em . Assim, este axioma é atendido.
  3. Associatividade da adição: A adição de matrizes 1x1 é associativa porque . Por exemplo, e .
  4. Comutatividade da adição: A adição de matrizes 1x1 é comutativa, ou seja, . Por exemplo, .
  5. Existência do elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero em , que é , tal que para qualquer matriz em .
  6. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em , existe uma matriz tal que .
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalar: Para quaisquer escalares e , e para qualquer matriz , temos . Por exemplo, e .
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz por 1 não altera a matriz, ou seja, .
  9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer escalar e matrizes e , temos . Por exemplo, .
  10. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer escalares e , e para qualquer matriz , temos . Por exemplo, .

Resposta

O conjunto , com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os dez axiomas necessários.

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