Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Precisamos verificar se o conjunto
, juntamente com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos conferir se todos os dez axiomas dos espaços vetoriais são atendidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto representa todas as matrizes de ordem 1x1. Cada matriz 1x1 pode ser vista como um número real, já que uma matriz 1x1 é simplesmente um único número. Portanto,
é essencialmente igual ao conjunto dos números reais
.
Passo 3
Agora, vamos verificar cada um dos dez axiomas dos espaços vetoriais para o conjunto
com as operações usuais:
-
Fechamento sob adição: Se somarmos duas matrizes 1x1, o resultado será outra matriz 1x1. Por exemplo, se
e , então , que também está em . Portanto, este axioma é válido. -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz 1x1 por um escalar
, o resultado será , que também está em . Assim, este axioma é atendido. -
Associatividade da adição: A adição de matrizes 1x1 é associativa porque
. Por exemplo, e . -
Comutatividade da adição: A adição de matrizes 1x1 é comutativa, ou seja,
. Por exemplo, . -
Existência do elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero em
, que é , tal que para qualquer matriz em . -
Existência do inverso aditivo: Para cada matriz
em , existe uma matriz tal que . -
Compatibilidade da multiplicação por escalar: Para quaisquer escalares
e , e para qualquer matriz , temos . Por exemplo, e . -
Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz
por 1 não altera a matriz, ou seja, . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer escalar
e matrizes e , temos . Por exemplo, . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer escalares
e , e para qualquer matriz , temos . Por exemplo, .
Resposta
O conjunto
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os dez axiomas necessários.
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.