Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
Passo 1
Vamos analisar o exercício juntos! Precisamos verificar se o conjunto
, que representa todas as matrizes de 4 linhas e 6 colunas, junto com as operações normais de soma e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e conferir se todas as regras (axiomas) são cumpridas.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adicionar vetores e multiplicar vetores por números (escalars). Essas operações precisam seguir certas regras chamadas axiomas, como associatividade, existência de zero, distribuição, entre outros. No nosso caso, os “vetores” são as matrizes de
.
Passo 3
Vamos conferir se
com as operações de soma de matrizes e multiplicação por escalar satisfaz todos os 10 axiomas de um espaço vetorial.
Passo 4
-
Fechamento sob a adição: Se você somar duas matrizes de
, o resultado também é uma matriz de . Então, essa regra está ok. -
Fechamento sob a multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz de
por um número qualquer, o resultado ainda é uma matriz de . Outra regra cumprida!
Passo 5
-
Associatividade da adição: Para qualquer três matrizes
em , temos . Isso é verdade porque a soma de matrizes é associativa. -
Comutatividade da adição: Para quaisquer duas matrizes
e em , . Soma de matrizes é comutativa, então tá tranquilo.
Passo 6
-
Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero em
que, quando somada a qualquer matriz , resulta em mesma. Ou seja, . Esse axioma também está satisfeito. -
Existência do inverso aditivo: Para cada matriz
em , existe uma matriz tal que . Isso significa que cada matriz tem seu inverso, cumprindo o axioma.
Passo 7
-
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes: Para qualquer escalar
e matrizes em , . Isso é válido porque você pode distribuir o escalar para cada matriz antes de somar. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para escalares
e , e uma matriz em , . Isso também é verdadeiro.
Passo 8
-
Associatividade da multiplicação por escalar: Para escalares
e , e uma matriz , . A ordem da multiplicação dos escalares não altera o resultado, então tá certo. -
Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz
por 1 (ou seja, ) resulta na própria matriz . Esse axioma também é válido.
Resposta
Depois de verificar todos os 10 axiomas, vimos que
, com suas operações usuais de soma e multiplicação por escalar, satisfaz todas as condições para ser um espaço vetorial. Portanto,
é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:
.
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau , cujos gráficos não passam pela origem
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau