Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.

Passo 1

Vamos analisar o exercício juntos! Precisamos verificar se o conjunto , que representa todas as matrizes de 4 linhas e 6 colunas, junto com as operações normais de soma e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e conferir se todas as regras (axiomas) são cumpridas.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adicionar vetores e multiplicar vetores por números (escalars). Essas operações precisam seguir certas regras chamadas axiomas, como associatividade, existência de zero, distribuição, entre outros. No nosso caso, os “vetores” são as matrizes de .

Passo 3

Vamos conferir se com as operações de soma de matrizes e multiplicação por escalar satisfaz todos os 10 axiomas de um espaço vetorial.

Passo 4

  1. Fechamento sob a adição: Se você somar duas matrizes de , o resultado também é uma matriz de . Então, essa regra está ok.
  2. Fechamento sob a multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz de por um número qualquer, o resultado ainda é uma matriz de . Outra regra cumprida!

Passo 5

  1. Associatividade da adição: Para qualquer três matrizes em , temos . Isso é verdade porque a soma de matrizes é associativa.
  2. Comutatividade da adição: Para quaisquer duas matrizes e em , . Soma de matrizes é comutativa, então tá tranquilo.

Passo 6

  1. Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero em que, quando somada a qualquer matriz , resulta em mesma. Ou seja, . Esse axioma também está satisfeito.
  2. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em , existe uma matriz tal que . Isso significa que cada matriz tem seu inverso, cumprindo o axioma.

Passo 7

  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes: Para qualquer escalar e matrizes em , . Isso é válido porque você pode distribuir o escalar para cada matriz antes de somar.
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para escalares e , e uma matriz em , . Isso também é verdadeiro.

Passo 8

  1. Associatividade da multiplicação por escalar: Para escalares e , e uma matriz , . A ordem da multiplicação dos escalares não altera o resultado, então tá certo.
  2. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz por 1 (ou seja, ) resulta na própria matriz . Esse axioma também é válido.

Resposta

Depois de verificar todos os 10 axiomas, vimos que , com suas operações usuais de soma e multiplicação por escalar, satisfaz todas as condições para ser um espaço vetorial. Portanto, é um espaço vetorial.

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