Ache o ângulo entre os vetores u e v.
u=lang<= 1,2rang<= e v=lang<= 3,1rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar o ângulo entre os vetores u = lang<= 1, 2 rang<= e v = lang<= 3, 1 rang<=. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e módulo dos vetores. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores e os seus módulos para depois encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2
Substituindo os valores:
u cdot v = 1 times 3 + 2 times 1 = 3 + 2 = 5
Então, o produto escalar é 5.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor a = lang<= a1, a2 rang<= é calculado por:
|a| = raiza1^2 + a2^2
Para u:
|u| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,236
Para v:
|v| = raiz3^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10 approx 3,162

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores:
costheta = u cdot v|u| times |v|
Substituindo os valores que calculamos:
costheta = 52,236 times 3,162 approx 57,071 approx 0,707
Para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(0,707) approx 45^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de aproximadamente 45^circ.

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