(UFF) Sendo i a unidade imaginária, para que z=4 x-i4-x i ; x in R, seja um número real, é necessário que x seja igual a:
B) pm 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão envolvendo números complexos: , onde é um número real. A pergunta quer saber para quais valores de esse número será real. Ou seja, temos que encontrar tal que a parte imaginária de seja zero. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com operações envolvendo números complexos e entender como garantir que um número complexo seja realmente um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo é real se e somente se a parte imaginária for igual a zero. Então, nosso objetivo é manipular a expressão de para identificar a parte imaginária e igualá-la a zero.

Passo 3

Vamos racionalizar o denominador da fração z = (4x - i)(4 + xi)(4 - xi)(4 + xi) multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é . Fazendo isso:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as expressões no numerador e no denominador:
No numerador:
(4x - i)(4 + xi) = 4x cdot 4 + 4x cdot xi - i cdot 4 - i cdot xi = 16x + 4x^2i - 4i - x i^2
Lembrando que 16x + 4x^2i - 4i + x , temos:
(16x + x) + (4x^2i - 4i) = 17x + i(4x^2 - 4)
Agrupando os termos:
(4 - xi)(4 + xi) = 4 cdot 4 + 4 cdot xi - xi cdot 4 - xi cdot xi = 16 + 4xi - 4xi - x^2i^2
No denominador:
16 + 0 + x^2 = 16 + x^2
Como :

Passo 5

Agora, escrevemos z = 17x + i(4x^2 - 4)16 + x^2 = 17x16 + x^2 + i( 4x^2 - 416 + x^2 ) na forma padrão :

Passo 6

Para que 4x^2 - 416 + x^2 = 0 seja real, a parte imaginária deve ser zero:
4x^2 - 4 = 0 4x^2 = 4 x^2 = 1 x = pm 1
Isso acontece quando o numerador é zero:

Resposta

Portanto, para que seja um número real, deve ser igual a .

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