Ache o ângulo entre os vetores u e v.
u=i+raiz3 j e v=-i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o ângulo entre dois vetores. Aqui, trabalharemos com álgebra vetorial, especificamente usando o produto escalar para descobrir o ângulo entre os vetores u e v. Para isso, vamos precisar das componentes dos vetores, da fórmula do produto escalar e da relação entre o produto escalar e o cosseno do ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes dos vetores. O vetor u é dado por i + raiz3 j, o que significa que suas componentes são:
  • Componente no eixo i: 1
  • Componente no eixo j: raiz3
Já o vetor v é -i, então suas componentes são:
  • Componente no eixo i: -1
  • Componente no eixo j: 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar de dois vetores a = a1i + a2j e b = b1i + b2j é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (1)(-1) + (raiz3)(0) = -1 + 0 = -1

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores u e v. A magnitude de um vetor a = a1i + a2j é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2
Calculando para u:
|u| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2
E para v:
|v| = raiz(-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 0 = raiz1 = 1

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| , |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = -12 times 1 = -12 = -0,5

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, precisamos calcular o arco cosseno de -0,5. Sabemos que:
arccos(-0,5) = 120^circ
Isso significa que o ângulo entre os vetores u e v é de 120 graus.

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de 120^circ.

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