Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (h) x1-x2+2 x3 & +x4-3 x5=1 -2 x1+x2 & -x4+x5=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear com duas equações e cinco incógnitas: e . A matéria que vamos usar aqui é a eliminação de Gauss-Jordan, que nos ajuda a resolver sistemas lineares, especialmente quando temos mais incógnitas do que equações. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar umas operações para simplificar e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização e aplicação da eliminação de Gauss-Jordan. A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 -2 & 1 & 0 & -1 & 1 & | & 2

Passo 3

Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples. Nosso objetivo é deixar os coeficientes de 1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 -2 & 1 & 0 & -1 & 1 & | & 2 e Linha 2 = Linha 2 + 2 times Linha 1 com 1 e eliminar os outros valores abaixo e acima deles. Começamos mantendo o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está certinho):
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 0 & -1 & 4 & 1 & -5 & | & 4
Para zerar o primeiro elemento da segunda linha ( ), vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
Isso fica:

Passo 4

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por Linha 2 = Linha 2-1 para tornar o coeficiente de 1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 0 & 1 & -4 & -1 & 5 & | & -4 igual a 1:
Fica assim:

Passo 5

Agora, queremos eliminar o Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 que está acima do 1 na segunda coluna da primeira linha. Para isso, vamos adicionar a segunda linha à primeira linha:
1 & 0 & -2 & 0 & 2 & | & -3 0 & 1 & -4 & -1 & 5 & | & -4
Resultado:

Passo 6

Agora temos duas equações simplificadas:
x1 - 2x3 + 2x5 = -3 x2 - 4x3 - x4 + 5x5 = -4
Como temos cinco incógnitas mas só duas equações, vamos escolher x₃, x₄ e x₅ como variáveis livres. Isso significa que podemos atribuir qualquer valor a elas e resolver para e com base nessas escolhas.

Passo 7

Vamos expressar x1 = -3 + 2x3 - 2x5 e x2 = -4 + 4x3 + x4 - 5x5 em função das variáveis livres e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -3 + 2x3 - 2x5 x2 = -4 + 4x3 + x4 - 5x5 x3 = x3 x4 = x4 x5 = x5
Onde , e são variáveis livres e podem assumir quaisquer valores reais. Ou seja, o sistema tem infinitas soluções determinadas por esses parâmetros livres.

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