Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear com duas equações e cinco incógnitas: e . A matéria que vamos usar aqui é a eliminação de Gauss-Jordan, que nos ajuda a resolver sistemas lineares, especialmente quando temos mais incógnitas do que equações. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar umas operações para simplificar e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização e aplicação da eliminação de Gauss-Jordan. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples. Nosso objetivo é deixar os coeficientes de e com 1 e eliminar os outros valores abaixo e acima deles. Começamos mantendo o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está certinho):
Para zerar o primeiro elemento da segunda linha (), vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
Isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por para tornar o coeficiente de igual a 1:
Fica assim:
Passo 5
Agora, queremos eliminar o que está acima do 1 na segunda coluna da primeira linha. Para isso, vamos adicionar a segunda linha à primeira linha:
Resultado:
Passo 6
Agora temos duas equações simplificadas:
Como temos cinco incógnitas mas só duas equações, vamos escolher x₃, x₄ e x₅ como variáveis livres. Isso significa que podemos atribuir qualquer valor a elas e resolver para e com base nessas escolhas.
Passo 7
Vamos expressar e em função das variáveis livres e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde , e são variáveis livres e podem assumir quaisquer valores reais. Ou seja, o sistema tem infinitas soluções determinadas por esses parâmetros livres.