Ache o ângulos entre u e v, para os casos:
(3) u=(12, raiz32) e v=(-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre os vetores u = (12, raiz32) e v = (-1, 0). Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar (também chamado de produto interno) entre u e v. O produto escalar entre dois vetores a = (ax, ay) e b = (bx, by) é dado por:
a cdot b = ax cdot bx + ay cdot by
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (12) cdot (-1) + (raiz32) cdot 0 = -12 + 0 = -12

Passo 3

Agora, vamos encontrar as normas (ou módulos) dos vetores u e v. A norma de um vetor a = (ax, ay) é calculada por:
|a| = raizax^2 + ay^2
Para u:
|u| = raiz(12)^2 + (raiz32)^2 = raiz14 + 34 = raiz1 = 1
Para v:
|v| = raiz(-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 0 = 1

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores:
costheta = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores:
costheta = -121 cdot 1 = -12

Passo 5

Para achar o ângulo theta, aplicamos a função arccos (ou cos⁻¹) no resultado:
theta = arccos(-12)
Sabemos que arccos(-12) = 120^circ, porque o cosseno de 120 graus é -12.

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é 120^circ.

Exercícios relacionados

Sejam u=(raiz3, 1) e v=(1, k). Determinar o valor de k para que:
(1) u e v sejam paralelos,
Sejam O, A e B três pontos não-alinhados, u=O A, v=O B e b=u|u|+v|v|. Mostre que o vetor b é paralelo à bissetriz do ângulo A widehatO B.
Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(1) |u+v|^2=|u|^2+2(u bul<=t v)+|v|^2.
Determinar o valor de a para que seja de 3 pi4 o ângulo entre u=(2,1) e v=(1, a).