Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(1) |u+v|^2=|u|^2+2(u bul<=t v)+|v|^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u e v, e precisa mostrar que:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2(u bul<=t v) + |v|^2
Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com normas de vetores e produto interno (também chamado de produto escalar). Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto interno e expandir a expressão |u + v|^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, |a|, é igual à raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo:
|a| = raiza bul<=t a
Portanto, ao elevarmos ao quadrado, temos:
|a|^2 = a bul<=t a

Passo 3

Vamos aplicar isso ao vetor u + v. A norma ao quadrado fica:
|u + v|^2 = (u + v) bul<=t (u + v)

Passo 4

Agora, vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva do produto escalar:
(u + v) bul<=t (u + v) = u bul<=t u + u bul<=t v + v bul<=t u + v bul<=t v

Passo 5

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, u bul<=t v = v bul<=t u. Então, podemos simplificar:
u bul<=t u + u bul<=t v + v bul<=t u + v bul<=t v = |u|^2 + 2(u bul<=t v) + |v|^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2(u bul<=t v) + |v|^2

Exercícios relacionados