Sejam
e
, vetores. Mostre que:
(1)
.
(1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e precisa mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com normas de vetores e produto interno (também chamado de produto escalar). Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto interno e expandir a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor,
, é igual à raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo:
Portanto, ao elevarmos ao quadrado, temos:
Passo 3
Vamos aplicar isso ao vetor
. A norma ao quadrado fica:
Passo 4
Agora, vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Passo 5
Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja,
. Então, podemos simplificar:
Resposta
Portanto, mostramos que: