Sejam O, A e B três pontos não-alinhados, u=O A, v=O B e b=u|u|+v|v|. Mostre que o vetor b é paralelo à bissetriz do ângulo A widehatO B.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos três pontos não alinhados , e , e queremos mostrar que o vetor , onde e , é paralelo à bissetriz do ângulo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, normalização de vetores e bissetriz de um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a bissetriz de um ângulo é a linha que divide esse ângulo em duas partes iguais. No nosso caso, queremos encontrar um vetor que aponta na direção dessa bissetriz.

Passo 3

Vamos normalizar os vetores u|u| e v|v| e . Normalizar um vetor significa criar um vetor com a mesma direção, mas com comprimento igual a 1. Isso é feito dividindo o vetor pela sua magnitude:

Passo 4

Agora, somamos esses dois vetores normalizados para obter o vetor b = u|u| + v|v| :
Esse vetor representa a direção resultante da soma das direções de e .

Passo 5

Para mostrar que está na direção da bissetriz do ângulo , precisamos verificar que ele divide o ângulo em duas partes iguais. Como ambos os vetores e têm magnitude 1 e são somados, o vetor resultante aponta exatamente na direção que equidista das direções de e , ou seja, na bissetriz do ângulo.

Resposta

Portanto, o vetor é paralelo à bissetriz do ângulo .

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