Determinar o valor de a para que seja de 3 pi4 o ângulo entre u=(2,1) e v=(1, a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de tal que o ângulo entre os vetores e seja . Vamos usar conceitos de produto escalar e magnitudes de vetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos u cdot v = u1 v1 + u2 v2 e , o produto escalar é:

Passo 3

Também precisamos calcular as magnitudes (comprimentos) dos vetores. A magnitude de |u| = raizu1^2 + u2^2 é:
|v| = raizv1^2 + v2^2
E a magnitude de é:

Passo 4

O cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| |v| entre os vetores é dado pela fórmula:
cos(3pi4) = u cdot v|u| |v|
Nesse caso, sabemos que , então:

Passo 5

Vamos calcular cada parte. Primeiro, o produto escalar:
u cdot v = 2 times 1 + 1 times a = 2 + a

Passo 6

Agora, as magnitudes dos vetores:
|u| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
|v| = raiz1^2 + a^2 = raiz1 + a^2

Passo 7

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos(3pi4) = 2 + araiz5 times raiz1 + a^2
Sabemos que -raiz22 = 2 + araiz5 times raiz1 + a^2 , então:

Passo 8

Vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -raiz22 times raiz5 times raiz1 + a^2 = 2 + a :
-raiz102 times raiz1 + a^2 = 2 + a
Simplificando:

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
-raiz10 times raiz1 + a^2 = 4 + 2a

Passo 10

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(raiz10 times raiz1 + a^2)^2 = (4 + 2a)^2
10 times (1 + a^2) = 16 + 16a + 4a^2

Passo 11

Distribuímos e organizamos os termos:
10 + 10a^2 = 16 + 16a + 4a^2
Subtraímos 6a^2 - 16a - 6 = 0 de ambos os lados:

Passo 12

Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:
3a^2 - 8a - 3 = 0

Passo 13

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 times 3 times (-3)2 times 3
a = 8 pm raiz64 + 366
a = 8 pm raiz1006
a = 8 pm 106

Passo 14

Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são ou .

Exercícios relacionados

Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(1) |u+v|^2=|u|^2+2(u bul<=t v)+|v|^2.
Ache o ângulos entre u e v, para os casos:
(3) u=(12, raiz32) e v=(-1,0)
Ache o ângulos entre u e v, para os casos:
(2) u=(1,0) e v=(-1,-1)
Sejam u e v, vetores. Mostre que:
|u bul<=t v| <=|u| cdot|v|
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se, u / / v.