Determinar o valor de a para que seja de
o ângulo entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
tal que o ângulo entre os vetores
e
seja
. Vamos usar conceitos de produto escalar e magnitudes de vetores para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos
e
, o produto escalar é:
Passo 3
Também precisamos calcular as magnitudes (comprimentos) dos vetores. A magnitude de
é:
E a magnitude de
é:
Passo 4
O cosseno do ângulo
entre os vetores é dado pela fórmula:
Nesse caso, sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos calcular cada parte. Primeiro, o produto escalar:
Passo 6
Agora, as magnitudes dos vetores:
Passo 7
Substituindo na fórmula do cosseno:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 10
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 11
Distribuímos e organizamos os termos:
Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 12
Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 13
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 14
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
ou
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
, vetores. Mostre que:
(1) .
(1)
Ache o ângulos entre
e
, para os casos:
(3) e
(3)
Ache o ângulos entre
e
, para os casos:
(2) e
(2)
Sejam
e
, vetores. Mostre que:
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se,
.