Ache o ângulos entre u e v, para os casos:
(2) u=(1,0) e v=(-1,-1)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar o ângulo entre os vetores u=(1,0) e v=(-1,-1). Para isso, vamos usar o conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles. Vamos precisar calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes (ou módulos) de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores u=(u1, u2) e v=(v1, v2) é dado por:
u cdot v = u1 cdot v1 + u2 cdot v2
Substituindo os valores:
u cdot v = 1 cdot (-1) + 0 cdot (-1) = -1 + 0 = -1

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes de u e v. A magnitude de um vetor a=(a1, a2) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2
Para u:
|u| = raiz1^2 + 0^2 = raiz1 + 0 = 1
Para v:
|v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo theta:
u cdot v = |u| |v| costheta
Substituindo os valores conhecidos:
-1 = 1 cdot raiz2 cdot costheta
Isolando costheta:
costheta = -1raiz2

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (cos⁻¹):
theta = cos^-1(-1raiz2)
Calculando o valor:
theta approx 135^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u=(1,0) e v=(-1,-1) é aproximadamente 135^circ.

Exercícios relacionados

Determinar o valor de a para que seja de 3 pi4 o ângulo entre u=(2,1) e v=(1, a).
Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(1) |u+v|^2=|u|^2+2(u bul<=t v)+|v|^2.
Sejam u e v, vetores. Mostre que:
|u bul<=t v| <=|u| cdot|v|
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se, u / / v.
Sejam u e v, vetores ambos não nulos. Mostre que são equivalentes:
(1) u / / v e têm mesmo sentido,
(2) |u+v|=|u|+|v| e
(3) |u-v|=||u|-|v||
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de u e v serem paralelos de sentidos contrátrios.