Sejam u e v, vetores. Mostre que:
|u bul<=t v| <=|u| cdot|v|
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se, u / / v.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, u e v, e precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que o valor absoluto do produto escalar deles, |u bul<=t v|, é menor ou igual ao produto das normas deles, |u| cdot |v|.
  2. Que essa igualdade acontece se, e somente se, os vetores são paralelos, ou seja, u paral<=l v.
Vamos precisar entender o que é produto escalar, norma de um vetor e a desigualdade de Cauchy-Schwarz pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o produto escalar. O produto escalar de dois vetores u e v é dado por:
u bul<=t v = u1 v1 + u2 v2 + dots + un vn
Onde ui e vi são as componentes dos vetores.

Passo 3

A norma de um vetor, |u|, é basicamente o tamanho ou comprimento do vetor. É calculada assim:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2
O mesmo vale para |v|.

Passo 4

A desigualdade que queremos provar é a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que:
|u bul<=t v| <= |u| cdot |v|
Essa desigualdade é uma ferramenta fundamental em álgebra linear e mostra uma relaç��o entre o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 5

Para provar a desigualdade, vamos olhar para a expressão:
|u - tv|^2 >= 0
Onde t é um escalar. Sabemos que o quadrado da norma de qualquer vetor é sempre não negativo.

Passo 6

Expandindo essa expressão, temos:
|u|^2 - 2t (u bul<=t v) + t^2 |v|^2 >= 0
Isso é uma inequação quadrática em t.

Passo 7

Para que essa inequação seja sempre verdadeira, o discriminante dela deve ser menor ou igual a zero:
( -2 (u bul<=t v) )^2 - 4 cdot |v|^2 cdot |u|^2 <= 0
Simplificando:
4 (u bul<=t v)^2 - 4 |u|^2 |v|^2 <= 0
Dividindo tudo por 4:
(u bul<=t v)^2 <= |u|^2 |v|^2

Passo 8

Tirando a raiz quadrada dos dois lados, chegamos em:
|u bul<=t v| <= |u| cdot |v|
Que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos provar.

Passo 9

Agora, para ver quando a igualdade ocorre, vamos voltar à expressão:
|u - tv|^2 = 0
Isso só acontece quando u - tv = 0, ou seja, quando u = tv. Isso significa que os vetores são paralelos.

Resposta

Portanto, mostramos que |u bul<=t v| <= |u| cdot |v|, e a igualdade ocorre se, e somente se, u paral<=l v.

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Ache o ângulos entre u e v, para os casos:
(2) u=(1,0) e v=(-1,-1)
Determinar o valor de a para que seja de 3 pi4 o ângulo entre u=(2,1) e v=(1, a).
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(1) u / / v e têm mesmo sentido,
(2) |u+v|=|u|+|v| e
(3) |u-v|=||u|-|v||
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