Sejam
e
, vetores. Mostre que:
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se,
.
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores,
e
, e precisamos mostrar duas coisas:
- Que o valor absoluto do produto escalar deles,
, é menor ou igual ao produto das normas deles, . - Que essa igualdade acontece se, e somente se, os vetores são paralelos, ou seja,
.
Vamos precisar entender o que é produto escalar, norma de um vetor e a desigualdade de Cauchy-Schwarz pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o produto escalar. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Onde
e
são as componentes dos vetores.
Passo 3
A norma de um vetor,
, é basicamente o tamanho ou comprimento do vetor. É calculada assim:
O mesmo vale para
.
Passo 4
A desigualdade que queremos provar é a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que:
Essa desigualdade é uma ferramenta fundamental em álgebra linear e mostra uma relaç��o entre o produto escalar e as normas dos vetores.
Passo 5
Para provar a desigualdade, vamos olhar para a expressão:
Onde
é um escalar. Sabemos que o quadrado da norma de qualquer vetor é sempre não negativo.
Passo 6
Expandindo essa expressão, temos:
Isso é uma inequação quadrática em
.
Passo 7
Para que essa inequação seja sempre verdadeira, o discriminante dela deve ser menor ou igual a zero:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Passo 8
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, chegamos em:
Que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos provar.
Passo 9
Agora, para ver quando a igualdade ocorre, vamos voltar à expressão:
Isso só acontece quando
, ou seja, quando
. Isso significa que os vetores são paralelos.
Resposta
Portanto, mostramos que
, e a igualdade ocorre se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Ache o ângulos entre
e
, para os casos:
(2) e
(2)
Determinar o valor de a para que seja de
o ângulo entre
e
.
Sejam
e
, vetores ambos não nulos. Mostre que são equivalentes:
(1) e têm mesmo sentido,
(2)
(3)
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de e
serem paralelos de sentidos contrátrios.
(1)
(2)
(3)
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de
Seja
uma base ortogonal. Mostre que para
, vetor,