Sejam
e
, vetores ambos não nulos. Mostre que são equivalentes:
(1)
e têm mesmo sentido,
(2)
(3)
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de
e
serem paralelos de sentidos contrátrios.
(1)
(2)
(3)
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que três condições são equivalentes quando dois vetores não nulos,
e
, são paralelos e têm o mesmo sentido. Além disso, precisamos fazer o mesmo para quando eles são paralelos, mas com sentidos contrários.
Vamos precisar entender alguns conceitos de vetores:
- Vetores paralelos: Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, ou seja,
onde é um número real. - Norma de um vetor: A norma
representa o comprimento do vetor . - Operações com vetores: Somar e subtrair vetores segue regras específicas, especialmente quando os vetores são paralelos.
Vamos resolver mostrando que as três condições dadas são interligadas e equivalentes quando os vetores são paralelos com o mesmo sentido, e depois adaptar isso para vetores paralelos com sentidos contrários.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se
e
são paralelos e têm o mesmo sentido, então
.
Como os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, podemos escrever
onde
. Então:
A norma de
será:
Agora, calculamos
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos provar que se
, então
e
são paralelos e têm o mesmo sentido.
Sabemos que, em geral, para quaisquer vetores:
A igualdade só ocorre se
e
forem paralelos e tiverem o mesmo sentido. Portanto, se
, então
e
devem ser paralelos e apontar na mesma direção.
Passo 4
Vamos agora mostrar que se
e
são paralelos e têm o mesmo sentido, então
.
Como
e
são paralelos e têm o mesmo sentido, podemos novamente escrever
com
. Então:
A norma de
será:
E
é:
Portanto,
.
Passo 5
Finalmente, vamos mostrar que se
, então
e
são paralelos e têm o mesmo sentido.
Se
, isso implica que os vetores estão na mesma linha (são paralelos) e que a diferença entre eles está diretamente relacionada às suas normas, o que só acontece se eles tiverem o mesmo sentido.
Resposta
Então, mostramos que as três condições são equivalentes quando
e
são vetores paralelos com o mesmo sentido. Agora, para vetores paralelos com sentidos contrários, as equivalências são:
-
e têm sentidos opostos, -
, -
.
Essas condições são equivalentes quando
e
são paralelos e apontam em direções opostas.
Exercícios relacionados
Sejam
e
, vetores. Mostre que:
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se,
.
Ache o ângulos entre
e
, para os casos:
(2) e
(2)
Seja
uma base ortogonal. Mostre que para
, vetor,
Dados os vetores
e
, calcular:
(1)
(1)