Sejam u e v, vetores ambos não nulos. Mostre que são equivalentes:
(1) u / / v e têm mesmo sentido,
(2) |u+v|=|u|+|v| e
(3) |u-v|=||u|-|v||
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de u e v serem paralelos de sentidos contrátrios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que três condições são equivalentes quando dois vetores não nulos, e , são paralelos e têm o mesmo sentido. Além disso, precisamos fazer o mesmo para quando eles são paralelos, mas com sentidos contrários.
Vamos precisar entender alguns conceitos de vetores:
  • Vetores paralelos: Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, ou seja, onde é um número real.
  • Norma de um vetor: A norma representa o comprimento do vetor .
  • Operações com vetores: Somar e subtrair vetores segue regras específicas, especialmente quando os vetores são paralelos.
Vamos resolver mostrando que as três condições dadas são interligadas e equivalentes quando os vetores são paralelos com o mesmo sentido, e depois adaptar isso para vetores paralelos com sentidos contrários.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se u + v = kv + v = (k + 1)v e |u + v| = |(k + 1)v| = |k + 1||v| = (k + 1)|v| são paralelos e têm o mesmo sentido, então |u| + |v| = k|v| + |v| = (k + 1)|v| .
Como os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, podemos escrever onde . Então:
A norma de será:
Agora, calculamos :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos provar que se |u + v| <= |u| + |v| , então e são paralelos e têm o mesmo sentido.
Sabemos que, em geral, para quaisquer vetores:
A igualdade só ocorre se e forem paralelos e tiverem o mesmo sentido. Portanto, se , então e devem ser paralelos e apontar na mesma direção.

Passo 4

Vamos agora mostrar que se u - v = kv - v = (k - 1)v e |u - v| = |(k - 1)v| = |k - 1||v| = |k - 1||v| são paralelos e têm o mesmo sentido, então ||u| - |v|| = |k|v| - |v|| = |(k - 1)|v|| = |k - 1||v| .
Como e são paralelos e têm o mesmo sentido, podemos novamente escrever com . Então:
A norma de será:
E é:
Portanto, .

Passo 5

Finalmente, vamos mostrar que se , então e são paralelos e têm o mesmo sentido.
Se , isso implica que os vetores estão na mesma linha (são paralelos) e que a diferença entre eles está diretamente relacionada às suas normas, o que só acontece se eles tiverem o mesmo sentido.

Resposta

Então, mostramos que as três condições são equivalentes quando e são vetores paralelos com o mesmo sentido. Agora, para vetores paralelos com sentidos contrários, as equivalências são:
  1. e têm sentidos opostos,
  2. ,
  3. .
Essas condições são equivalentes quando e são paralelos e apontam em direções opostas.

Exercícios relacionados

Sejam u e v, vetores. Mostre que:
|u bul<=t v| <=|u| cdot|v|
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se, u / / v.
Ache o ângulos entre u e v, para os casos:
(2) u=(1,0) e v=(-1,-1)
Seja (u, v) uma base ortogonal. Mostre que para w, vetor,
w=proju w+projv w
Dados os vetores u=(1,-1) e v=(-3,4), calcular:
(1) |u|