Ache uma aproximação racional para o número e, utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.

Passo 1

Então, a questão pede para a gente encontrar uma aproximação racional para o número e, usando um polinômio de Taylor de ordem 4. A matéria aqui é Cálculo, especificamente séries de Taylor. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função e depois calcular os termos até a quarta ordem para obter a aproximação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função em torno de x = 0. A série é dada por:

Passo 3

Como queremos uma aproximação de ordem 4, vamos considerar apenas os termos até . Assim, o polinômio de Taylor de ordem 4 para é:

Passo 4

Agora, como queremos aproximar o número e, que é , vamos substituir x por 1 na expressão do polinômio:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Vamos somar todos esses termos para encontrar a aproximação racional:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 24:

Resposta

Uma aproximação racional para e utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4 é .

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