Ache uma aproximação racional para o número
, utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.
Passo 1
Então, a questão pede para a gente encontrar uma aproximação racional para o número
, usando um polinômio de Taylor de ordem 4. A matéria aqui é Cálculo, especificamente séries de Taylor. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função
e depois calcular os termos até a quarta ordem para obter a aproximação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função
em torno de
. A série é dada por:
Passo 3
Como queremos uma aproximação de ordem 4, vamos considerar apenas os termos até
. Assim, o polinômio de Taylor de ordem 4 para
é:
Passo 4
Agora, como queremos aproximar o número
, que é
, vamos substituir
por 1 na expressão do polinômio:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Vamos somar todos esses termos para encontrar a aproximação racional:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 24:
Resposta
Uma aproximação racional para
utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4 é
.
Exercícios relacionados
Escreva o polinômio
como um polinômio de Taylor no ponto
.
Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de
.
Find
by implicit differentiation.
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.