Ache uma aproximação racional para o número , utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.

Passo 1

Então, a questão pede para a gente encontrar uma aproximação racional para o número , usando um polinômio de Taylor de ordem 4. A matéria aqui é Cálculo, especificamente séries de Taylor. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função e depois calcular os termos até a quarta ordem para obter a aproximação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função em torno de . A série é dada por:

Passo 3

Como queremos uma aproximação de ordem 4, vamos considerar apenas os termos até . Assim, o polinômio de Taylor de ordem 4 para é:

Passo 4

Agora, como queremos aproximar o número , que é , vamos substituir por 1 na expressão do polinômio:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Vamos somar todos esses termos para encontrar a aproximação racional:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 24:

Resposta

Uma aproximação racional para utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4 é .

Exercícios relacionados

Escreva o polinômio como um polinômio de Taylor no ponto .
Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de .
Find by implicit differentiation.
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.