Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a equação da reta tangente à curva definida por no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica útil quando y está misturado com x na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre que y é uma função de x, então ao diferenciar y, a gente usa , que vou chamar de y’.
Diferenciando o lado esquerdo :
  • Aqui usamos a regra do produto (porque temos y multiplicado por ).
  • Derivada de y é y’.
  • Derivada de é (usando a regra da cadeia).
Então:
Diferenciando o lado direito :
  • Também aplicamos a regra do produto.
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas que encontramos:
Vamos avaliar essa equação no ponto (0,0). Substituindo x = 0 e y = 0:
Assim, a equação fica:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (0,0) é .

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