Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica útil quando y está misturado com x na equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre que y é uma função de x, então ao diferenciar y, a gente usa
, que vou chamar de y’.
Diferenciando o lado esquerdo
:
- Aqui usamos a regra do produto (porque temos y multiplicado por
). - Derivada de y é y’.
- Derivada de
é (usando a regra da cadeia).
Então:
Diferenciando o lado direito
:
- Também aplicamos a regra do produto.
- Derivada de x é 1.
- Derivada de
é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas que encontramos:
Vamos avaliar essa equação no ponto (0,0). Substituindo x = 0 e y = 0:
Assim, a equação fica:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (0,0) é
.
Exercícios relacionados
Find
by implicit differentiation.
Ache uma aproximação racional para o número
, utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.
Ache a solução geral do sistema dado.
The curve with equation
is called a kampyle of Eudoxus. Find an equation of the tangent line to this curve at the point