Escreva o polinômio
como um polinômio de Taylor no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reescrever o polinômio
como um polinômio de Taylor no ponto
. Isso envolve usar a expansão de Taylor, que é uma ferramenta da matemática para aproximar funções próximas a um ponto específico. Vamos precisar calcular as derivadas do polinômio e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Para uma função
, a expansão de Taylor em torno de um ponto
é dada por:
Como nosso polinômio é de terceiro grau, precisamos calcular as derivadas até a terceira ordem.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas do polinômio
:
- Primeira derivada
:
- Segunda derivada
:
- Terceira derivada
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Valor da função em
:
- Primeira derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Terceira derivada em
:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de
.
Escreva o polinômio de Taylor de ordem 4 da função
no ponto
1.
Ache uma aproximação racional para o número
, utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.
Find
by implicit differentiation.