Escreva o polinômio como um polinômio de Taylor no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reescrever o polinômio como um polinômio de Taylor no ponto . Isso envolve usar a expansão de Taylor, que é uma ferramenta da matemática para aproximar funções próximas a um ponto específico. Vamos precisar calcular as derivadas do polinômio e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Para uma função , a expansão de Taylor em torno de um ponto é dada por:
Como nosso polinômio é de terceiro grau, precisamos calcular as derivadas até a terceira ordem.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do polinômio :
  1. Primeira derivada :
  1. Segunda derivada :
  1. Terceira derivada :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Valor da função em :
  1. Primeira derivada em :
  1. Segunda derivada em :
  1. Terceira derivada em :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de no ponto é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de .
Escreva o polinômio de Taylor de ordem 4 da função no ponto 1.
Ache uma aproximação racional para o número , utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.
Find by implicit differentiation.