Escreva o polinômio y = 2*x^3 - 3*x^2 + 4*x - 5 como um polinômio de Taylor no ponto c = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reescrever o polinômio como um polinômio de Taylor no ponto . Isso envolve usar a expansão de Taylor, que é uma ferramenta da matemática para aproximar funções próximas a um ponto específico. Vamos precisar calcular as derivadas do polinômio e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Para uma função , a expansão de Taylor em torno de um ponto é dada por:
Como nosso polinômio é de terceiro grau, precisamos calcular as derivadas até a terceira ordem.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do polinômio :
  1. Primeira derivada :
  1. Segunda derivada :
  1. Terceira derivada :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Valor da função em :
  1. Primeira derivada em :
  1. Segunda derivada em :
  1. Terceira derivada em :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de no ponto é:

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