Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar o valor de
usando um polinômio de Taylor. O enunciado nos dá o polinômio:
Então, vamos usar a teoria dos polinômios de Taylor para encontrar os coeficientes
,
e
. Para isso, precisamos saber a função que estamos aproximando, que nesse caso é
, e calcular suas derivadas no ponto onde vamos expandir, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. No polinômio de Taylor,
é simplesmente o valor da função no ponto de expansão. Ou seja:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Esse coeficiente representa a primeira derivada da função no ponto de expansão. A derivada de
é:
Então, avaliando em
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
. Esse coeficiente está relacionado à segunda derivada da função. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
A segunda derivada avaliada em
é:
Mas no polinômio de Taylor,
é a segunda derivada dividida por 2:
Passo 5
Com os coeficientes
,
e
determinados, podemos montar o polinômio de Taylor:
Agora, para encontrar
, substituímos
por 120:
Passo 6
Vamos simplificar as contas passo a passo:
- Calcular
- Calcular
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos converter as frações para um denominador comum e somar:
Então:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
O valor aproximado de
é
.
Exercícios relacionados
Escreva o polinômio de Taylor de ordem 4 da função
no ponto
1.
Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique.
( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é ?
( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é
Escreva o polinômio
como um polinômio de Taylor no ponto
.
Ache uma aproximação racional para o número
, utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.