Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar o valor de usando um polinômio de Taylor. O enunciado nos dá o polinômio:
Então, vamos usar a teoria dos polinômios de Taylor para encontrar os coeficientes , e . Para isso, precisamos saber a função que estamos aproximando, que nesse caso é , e calcular suas derivadas no ponto onde vamos expandir, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . No polinômio de Taylor, é simplesmente o valor da função no ponto de expansão. Ou seja:
Isso porque .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Esse coeficiente representa a primeira derivada da função no ponto de expansão. A derivada de é:
Então, avaliando em :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular . Esse coeficiente está relacionado à segunda derivada da função. Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
A segunda derivada avaliada em é:
Mas no polinômio de Taylor, é a segunda derivada dividida por 2:

Passo 5

Com os coeficientes , e determinados, podemos montar o polinômio de Taylor:
Agora, para encontrar , substituímos por 120:

Passo 6

Vamos simplificar as contas passo a passo:
  1. Calcular
  2. Calcular
Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, vamos converter as frações para um denominador comum e somar:
Então:
Calculando :
Portanto:

Resposta

O valor aproximado de é .

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Escreva o polinômio de Taylor de ordem 4 da função no ponto 1.
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( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é ?
Escreva o polinômio como um polinômio de Taylor no ponto .
Ache uma aproximação racional para o número , utilizando um polinômio de Taylor de ordem 4.